Sabendo que, para o cobre (Cu), a energia para geração de 1 mol de vacâncias (Qv) é 83.680 J / mol, calcule a concentração de vacâncias no cobre (Cu) à temperatura ambiente (25^circ C). À qual temperatura seria necessário aquecer o cobre para que a concentração de vacâncias seja 1000 x maior do que a da temperatura ambiente? [2,15 times 10^-15 / 102^circ C]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre as vacâncias no cobre (Cu). Vacâncias são basicamente “faltas” de átomos na estrutura do material. O enunciado nos dá a energia necessária para criar 1 mol dessas vacâncias, que é 83.680 J/mol, e pede para calcular a concentração de vacâncias a temperatura ambiente (25°C). Além disso, queremos saber a que temperatura precisamos aquecer o cobre para que essa concentração seja 1000 vezes maior. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e a equação que relaciona a concentração de vacâncias com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a concentração de vacâncias a 25°C. A equação que usamos para isso é:
nvn = exp(-QvkT)
Onde:
  • é a concentração de vacâncias
  • é o número total de sítios atômicos
  • é a energia para gerar uma vacância (83.680 J/mol)
  • é a constante de Boltzmann
  • é a temperatura absoluta em Kelvin

Passo 3

Primeiro, vamos converter a energia de J/mol para J por átomo. Sabemos que 1 mol tem QvNA = 83.680 , J/mol6,022 times 10^23 , átomos/mol approx 1,39 times 10^-19 , J/átomo átomos (número de Avogadro). Então:
áá

Passo 4

Agora, vamos converter a temperatura de 25°C para Kelvin:
T = 25 + 273,15 = 298,15 , K

Passo 5

A constante de Boltzmann nvn = exp(-1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times 298,15) é . Vamos substituir todos os valores na equação da concentração de vacâncias:

Passo 6

Calculando o expoente:
1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times 298,15 approx 337 Rightarrow nvn = exp(-337) approx 4,15 times 10^-147

Passo 7

Essa é a concentração de vacâncias a 25°C. Agora, queremos que essa concentração seja 1000 vezes maior, ou seja:
nvn = 1000 times 4,15 times 10^-147 = 4,15 times 10^-144

Passo 8

Usando a mesma equação, mas agora queremos encontrar a nova temperatura 4,15 times 10^-144 = exp(-1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times T') :

Passo 9

Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para ln(4,15 times 10^-144) = -1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times T' -333,16 = -1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times T' 333,16 = 1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times T' :

Passo 10

Isolando T' = 1,39 times 10^-191,381 times 10^-23 times 333,16 approx 303,15 , K :
T' = 303,15 - 273,15 = 30°C
Convertendo para Celsius:

Resposta

A concentração de vacâncias no cobre a 25°C é aproximadamente , e seria necessário aquecer o cobre a cerca de 30°C para que a concentração de vacâncias seja 1000 vezes maior.

Exercícios relacionados