Sabendo que, para o cobre
, a energia para geração de 1 mol de vacâncias
é
, calcule a concentração de vacâncias no cobre (Cu) à temperatura ambiente
. À qual temperatura seria necessário aquecer o cobre para que a concentração de vacâncias seja 1000 x maior do que a da temperatura ambiente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre as vacâncias no cobre (Cu). Vacâncias são basicamente “faltas” de átomos na estrutura do material. O enunciado nos dá a energia necessária para criar 1 mol dessas vacâncias, que é 83.680 J/mol, e pede para calcular a concentração de vacâncias a temperatura ambiente (25°C). Além disso, queremos saber a que temperatura precisamos aquecer o cobre para que essa concentração seja 1000 vezes maior. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e a equação que relaciona a concentração de vacâncias com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a concentração de vacâncias a 25°C. A equação que usamos para isso é:
Onde:
-
é a concentração de vacâncias -
é o número total de sítios atômicos -
é a energia para gerar uma vacância (83.680 J/mol) -
é a constante de Boltzmann -
é a temperatura absoluta em Kelvin
Passo 3
Primeiro, vamos converter a energia de J/mol para J por átomo. Sabemos que 1 mol tem
átomos (número de Avogadro). Então:
Passo 4
Agora, vamos converter a temperatura de 25°C para Kelvin:
Passo 5
A constante de Boltzmann
é
. Vamos substituir todos os valores na equação da concentração de vacâncias:
Passo 6
Calculando o expoente:
Passo 7
Essa é a concentração de vacâncias a 25°C. Agora, queremos que essa concentração seja 1000 vezes maior, ou seja:
Passo 8
Usando a mesma equação, mas agora queremos encontrar a nova temperatura
:
Passo 9
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para
:
Passo 10
Isolando
:
Convertendo para Celsius:
Resposta
A concentração de vacâncias no cobre a 25°C é aproximadamente
, e seria necessário aquecer o cobre a cerca de 30°C para que a concentração de vacâncias seja 1000 vezes maior.