Sabendo que o evento A de um espaço é amostral finito e equiprovável. Prove que:
  • Propriedade 1. Se A = emptyset, então p(A)=0.
  • Propriedade 2. Se A=Omega, então p(A)=1.
  • Propriedade 3. Para cada x in Omega, p(x)=p(x)=1 / n(Omega)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar três propriedades da probabilidade quando o espaço amostral é finito e todos os eventos têm a mesma probabilidade. Vamos precisar entender o que é espaço amostral, eventos e probabilidade uniforme. Vamos por partes!

Passo 2

Propriedade 1: Se , então .
Primeiro, representa o evento impossível, ou seja, nada acontece. Como nenhum resultado ocorre, a probabilidade desse evento deve ser zero.
Explicação:
Em probabilidade, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral é 1. Se não há nenhum resultado no evento , então não contribui nada para essa soma, logo .

Passo 3

Propriedade 2: Se , então .
Aqui, é o espaço amostral completo, ou seja, todos os possíveis resultados que podem acontecer. Se considerarmos que algum resultado certamente vai ocorrer, a probabilidade desse evento é 1.
Explicação:
Como inclui todos os resultados possíveis, a probabilidade de ocorrer algum deles é certa. Portanto, .

Passo 4

Propriedade 3: Para cada , .
Aqui, é o número total de elementos no espaço amostral. Como todos os eventos são equiprováveis, cada resultado individual tem a mesma chance de ocorrer.
Explicação:
Se temos resultados possíveis e cada um tem a mesma probabilidade, então a probabilidade de qualquer resultado específico é igual a . Assim, .

Resposta

Propriedades 1, 2 e 3 estão comprovadas conforme explicado acima.

Exercícios relacionados