Sabendo que o evento
de um espaço é amostral finito e equiprovável. Prove que:
- Propriedade 1. Se A =
, então
.
- Propriedade 2.
, então
.
- Propriedade 3. Para cada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar três propriedades da probabilidade quando o espaço amostral é finito e todos os eventos têm a mesma probabilidade. Vamos precisar entender o que é espaço amostral, eventos e probabilidade uniforme. Vamos por partes!
Passo 2
Propriedade 1: Se
, então
.
Primeiro,
representa o evento impossível, ou seja, nada acontece. Como nenhum resultado ocorre, a probabilidade desse evento deve ser zero.
Explicação:
Em probabilidade, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral é 1. Se não há nenhum resultado no evento
, então não contribui nada para essa soma, logo
.
Em probabilidade, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral
Passo 3
Propriedade 2: Se
, então
.
Aqui,
é o espaço amostral completo, ou seja, todos os possíveis resultados que podem acontecer. Se considerarmos que algum resultado certamente vai ocorrer, a probabilidade desse evento é 1.
Explicação:
Como inclui todos os resultados possíveis, a probabilidade de ocorrer algum deles é certa. Portanto,
.
Como
Passo 4
Propriedade 3: Para cada
,
.
Aqui,
é o número total de elementos no espaço amostral. Como todos os eventos são equiprováveis, cada resultado individual tem a mesma chance de ocorrer.
Explicação:
Se temos resultados possíveis e cada um tem a mesma probabilidade, então a probabilidade de qualquer resultado específico
é igual a
. Assim,
.
Se temos
Resposta
Propriedades 1, 2 e 3 estão comprovadas conforme explicado acima.