Determine o valor de x, sabendo que Cx, 3=Cx, 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o valor de sabendo que . Isso está relacionado ao conteúdo de Combinatória, mais especificamente ao conceito de combinações. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das combinações e fazer umas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular combinações. A combinação de Cn, k = n!k!(n - k)! elementos tomados de em é dada por:
onde representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, temos que:
Cx, 3 = Cx, 4
Substituindo pela fórmula das combinações:
x!3!(x - 3)! = x!4!(x - 4)!

Passo 4

Como temos 13!(x - 3)! = 14!(x - 4)! em ambos os lados da equação, podemos simplificar dividindo os dois lados por , o que nos deixa com:

Passo 5

Agora, vamos inverter os dois lados para facilitar a resolução:
3!(x - 3)! = 4!(x - 4)!
Sabemos que 3!(x - 3)! = 4 times 3!(x - 4)! , então podemos substituir:

Passo 6

Os (x - 3)! = 4(x - 4)! cancelam dos dois lados:

Passo 7

Vamos entender o que significa (x - 3)! = (x - 3) times (x - 4)! e (x - 3) times (x - 4)! = 4 times (x - 4)! . Lembrando que:
Substituindo isso na equação:

Passo 8

Agora, podemos cancelar x - 3 = 4 de ambos os lados, desde que (ou seja, ):

Passo 9

Resolvendo a equação:
x = 4 + 3
x = 7

Resposta

O valor de é 7.

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