Sabendo que a posição de um objeto de massa m no instante t é dada por r(t) = a sen(t) i + b cos(t) j, 0 <= t <= pi/2 ( a e b não simultaneamente nulos),
para quais valores de a e de b esse trabalho é negativo? nulo? positivo? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto com massa que se move de acordo com a posição dada por:
Queremos descobrir para quais valores de e o trabalho realizado é negativo, nulo ou positivo.
Matéria envolvida: Trabalho realizado por uma força, cálculo de integrais e produtos escalares.
O que vamos precisar:
  1. Saber como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição.
  2. Entender como calcular o trabalho usando o produto escalar entre força e deslocamento.
  3. Executar integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade:

Passo 4

A força que age sobre o objeto é dada pela segunda lei de Newton:

Passo 5

O trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo dado é calculado pela integral do produto escalar entre a força e a velocidade:
Vamos calcular o produto escalar:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão para encontrar o trabalho:
Sabemos que:
Então, avaliando entre 0 e :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do trabalho:

Resposta

O trabalho realizado é dado por:
  • Positivo quando .
  • Nulo quando .
  • Negativo quando .
Portanto, para que o trabalho seja positivo, o valor de deve ser maior que em termos quadráticos. Se os quadrados de e forem iguais, o trabalho será nulo. E se for maior que em termos quadráticos, o trabalho será negativo.

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