Sabendo que a posição de um objeto de massa
no instante
é dada por
(
e
não simultaneamente nulos),
para quais valores de
e de
esse trabalho é negativo? nulo? positivo? Justifique suas respostas.
para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto com massa
que se move de acordo com a posição dada por:
Queremos descobrir para quais valores de
e
o trabalho realizado é negativo, nulo ou positivo.
Matéria envolvida: Trabalho realizado por uma força, cálculo de integrais e produtos escalares.
O que vamos precisar:
- Saber como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição.
- Entender como calcular o trabalho usando o produto escalar entre força e deslocamento.
- Executar integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade:
Passo 4
A força que age sobre o objeto é dada pela segunda lei de Newton:
Passo 5
O trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo dado é calculado pela integral do produto escalar entre a força e a velocidade:
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão para encontrar o trabalho:
Sabemos que:
Então, avaliando entre 0 e
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado é dado por:
- Positivo quando
. - Nulo quando
. - Negativo quando
.
Portanto, para que o trabalho seja positivo, o valor de
deve ser maior que
em termos quadráticos. Se os quadrados de
e
forem iguais, o trabalho será nulo. E se
for maior que
em termos quadráticos, o trabalho será negativo.