(e^1 + e^(-x)) dy/dx = y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Pra resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:
Aqui, foi simplificado para .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Essa separação facilita a integração dos dois lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito requer uma substituição. Vamos deixar ela assim por enquanto:

Passo 5

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição . Então, ou . Substituindo na integral:
Usando frações parciais, encontramos que:
Voltando à variável original :

Passo 6

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Isolando :
Podemos simplificar multiplicando tudo por :
Onde é uma constante ajustada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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