Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Pra resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Aqui,
foi simplificado para
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Essa separação facilita a integração dos dois lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito requer uma substituição. Vamos deixar ela assim por enquanto:
Passo 5
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição
. Então,
ou
. Substituindo na integral:
Usando frações parciais, encontramos que:
Voltando à variável original
:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Isolando
:
Podemos simplificar multiplicando tudo por
:
Onde
é uma constante ajustada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.