Sabendo que a relação entre radiância espectral
e a densidade volumétrica de energia em um corpo negro
é dada por:
utilizando a lei de radiação de Planck, obtenha a lei de Stefan:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de física que trata de radiação de corpos negros. O enunciado nos dá a relação entre a radiância espectral
e a densidade volumétrica de energia
de um corpo negro:
Nosso objetivo é, usando a Lei de Radiação de Planck, chegar à Lei de Stefan-Boltzmann, que é expressa por:
Onde
.
Para resolver isso, precisamos entender conceitos como radiância, densidade de energia, Lei de Planck e integração de funções de energia espectral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Radiação de Planck. Ela descreve a distribuição de energia de um corpo negro em função da frequência
e da temperatura
:
Aqui:
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta.
Passo 3
Nossa primeira tarefa é encontrar a radiância total
integrando a radiância espectral
sobre todas as frequências. A relação dada é:
Então, integrando ambos os lados de 0 a infinito:
Passo 4
Agora, substituímos
pela expressão da Lei de Planck:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Definimos:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral
é conhecida e seu valor é
. Então:
Simplificando os termos:
Resposta
Finalmente, chegamos à Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
Exercícios relacionados
Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
(d) ( ) Dois corpos negros a diferentes temperaturas emitem espectros de radiação que têm a mesma forma, mas deslocados em relação ao comprimento de onda.
(d) ( ) Dois corpos negros a diferentes temperaturas emitem espectros de radiação que têm a mesma forma, mas deslocados em relação ao comprimento de onda.
Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
© ( ) A radiação emitida por um corpo negro pode ser totalmente descrita pela mecânica clássica.
© ( ) A radiação emitida por um corpo negro pode ser totalmente descrita pela mecânica clássica.
Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
(b) ( ) A energia total emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta.
(b) ( ) A energia total emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta.
Calcule a integral.