Sabendo que a relação entre radiância espectral e a densidade volumétrica de energia em um corpo negro é dada por:
utilizando a lei de radiação de Planck, obtenha a lei de Stefan: , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de física que trata de radiação de corpos negros. O enunciado nos dá a relação entre a radiância espectral e a densidade volumétrica de energia de um corpo negro:
Nosso objetivo é, usando a Lei de Radiação de Planck, chegar à Lei de Stefan-Boltzmann, que é expressa por:
Onde .
Para resolver isso, precisamos entender conceitos como radiância, densidade de energia, Lei de Planck e integração de funções de energia espectral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Radiação de Planck. Ela descreve a distribuição de energia de um corpo negro em função da frequência e da temperatura :
Aqui:
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura absoluta.

Passo 3

Nossa primeira tarefa é encontrar a radiância total integrando a radiância espectral sobre todas as frequências. A relação dada é:
Então, integrando ambos os lados de 0 a infinito:

Passo 4

Agora, substituímos pela expressão da Lei de Planck:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Definimos:
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral é conhecida e seu valor é . Então:
Simplificando os termos:

Resposta

Finalmente, chegamos à Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:

Exercícios relacionados

Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
(d) ( ) Dois corpos negros a diferentes temperaturas emitem espectros de radiação que têm a mesma forma, mas deslocados em relação ao comprimento de onda.
Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
© ( ) A radiação emitida por um corpo negro pode ser totalmente descrita pela mecânica clássica.
Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
(b) ( ) A energia total emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta.
Calcule a integral.