Sabendo que a relação entre radiância espectral RT(v) e a densidade volumétrica de energia em um corpo negro rhoT(v) é dada por:
RT(v) d v=(c / 4) rhoT(v) d v
utilizando a lei de radiação de Planck, obtenha a lei de Stefan: RT=sigma T^4, onde sigma=2 pi^5 k^4 / 15 c^2 h^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de física que trata de radiação de corpos negros. O enunciado nos dá a relação entre a radiância espectral RT(v) , dv = ( c4 ) rhoT(v) , dv e a densidade volumétrica de energia RT = sigma T^4 de um corpo negro:
Nosso objetivo é, usando a Lei de Radiação de Planck, chegar à Lei de Stefan-Boltzmann, que é expressa por:
Onde .
Para resolver isso, precisamos entender conceitos como radiância, densidade de energia, Lei de Planck e integração de funções de energia espectral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Radiação de Planck. Ela descreve a distribuição de energia de um corpo negro em função da frequência rhoT(v) = 8 pi h v^3c^3 cdot 1e^h vk T - 1 e da temperatura :
Aqui:
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura absoluta.

Passo 3

Nossa primeira tarefa é encontrar a radiância total RT(v) , dv = ( c4 ) rhoT(v) , dv integrando a radiância espectral RT = c4 integral0^infty rhoT(v) , dv sobre todas as frequências. A relação dada é:
Então, integrando ambos os lados de 0 a infinito:

Passo 4

Agora, substituímos RT = c4 integral0^infty 8 pi h v^3c^3 cdot 1e^h vk T - 1 , dv pela expressão da Lei de Planck:
RT = 2 pi hc^2 integral0^infty v^3e^h vk T - 1 , dv
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Definimos:
x = h vk T Rightarrow v = k Th x Rightarrow dv = k Th dx
Substituindo na integral:
RT = 2 pi hc^2 cdot ( k Th )^4 integral0^infty x^3e^x - 1 , dx

Passo 6

A integral RT = 2 pi hc^2 cdot ( k Th )^4 cdot pi^415 é conhecida e seu valor é RT = 2 pi^5 k^415 c^2 h^3 T^4 . Então:
Simplificando os termos:

Resposta

Finalmente, chegamos à Lei de Stefan-Boltzmann:
RT = sigma T^4
Onde:
sigma = 2 pi^5 k^415 c^2 h^3

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