Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão e integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é possível usando a fórmula da diferença de cubos:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, e
Passo 6
Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Para facilitar, vamos separar as frações:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos separar :
Isso permite que integremos usando substituição e fórmulas padrão.