Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é possível usando a fórmula da diferença de cubos:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo na terceira equação:
  • Então, e

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Para facilitar, vamos separar as frações:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos separar :
Isso permite que integremos usando substituição e fórmulas padrão.

Passo 8

Integrando a segunda parte:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral é:
onde é a constante de integração.

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Marque como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações sobre a radiação de corpo negro:
(b) ( ) A energia total emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta.
Sabendo que a relação entre radiância espectral e a densidade volumétrica de energia em um corpo negro é dada por:
utilizando a lei de radiação de Planck, obtenha a lei de Stefan: , onde .
Calcule.