Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão e integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é possível usando a fórmula da diferença de cubos:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, e
Passo 6
Agora que temos os valores de 1x^3-1 = 13x - 1 + -13x - 23x^2 + x + 1 , 1x^3-1 = 13 cdot 1x - 1 - 13 cdot x + 2x^2 + x + 1 e , podemos reescrever a fração original:
Para facilitar, vamos separar as frações:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3-1 , dx = 13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx
Para a primeira integral:
13 integral 1x - 1 , dx = 13 ln|x - 1|
Para a segunda integral, vamos separar x + 2x^2 + x + 1 = x + 12x^2 + x + 1 + 32(x^2 + x + 1) :
Isso permite que integremos usando substituição e fórmulas padrão.