Calcule a integral.
integral 1x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Isso é possível usando a fórmula da diferença de cubos:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração 1(x - 1)(x^2 + x + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1 em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar os denominadores:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C
Expandindo os termos:
1 = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
A + B = 0 &(coeficiente de x^2) A - B + C = 0 &(coeficiente de x) A - C = 1 &(termo constante)
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo na terceira equação:
  • Então, e

Passo 6

Agora que temos os valores de 1x^3-1 = 13x - 1 + -13x - 23x^2 + x + 1 , 1x^3-1 = 13 cdot 1x - 1 - 13 cdot x + 2x^2 + x + 1 e , podemos reescrever a fração original:
Para facilitar, vamos separar as frações:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3-1 , dx = 13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx
Para a primeira integral:
13 integral 1x - 1 , dx = 13 ln|x - 1|
Para a segunda integral, vamos separar x + 2x^2 + x + 1 = x + 12x^2 + x + 1 + 32(x^2 + x + 1) :
Isso permite que integremos usando substituição e fórmulas padrão.

Passo 8

Integrando a segunda parte:
- 13 [ 12 ln|x^2 + x + 1| + raiz33 tan^-1(2x + 1raiz3) ]

Resposta

Juntando todas as partes, a integral é:
integral 1x^3-1 , dx = 13 ln|x - 1| - 16 ln|x^2 + x + 1| - 13raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C
onde é a constante de integração.

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