Sabendo que y1 = x^2 é uma solução para x^2 y'' + x y' - 4 y = 0, use redução de ordem para encontrar uma segunda solução no intervalo (0, infinito). Escreva a solução geral a dois parâmetros da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
E já sabemos que uma das soluções dessa equação é . O objetivo aqui é encontrar uma segunda solução usando uma técnica chamada redução de ordem. A gente vai precisar lembrar como aplicar essa técnica e como montar a solução geral da EDO com as duas soluções encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma redução de ordem. Quando a gente já conhece uma solução de uma EDO de segunda ordem, a redução de ordem é um método para encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente de . A ideia é supor que tem a forma:
Onde é uma função que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Vamos aplicar isso aqui. Sabemos que , então nossa suposição é:
Agora, precisamos encontrar e de :
Primeiro derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação original:
Vamos simplificar isso:
Combine os termos semelhantes:

Passo 5

A equação que ficou é:
Vamos dividir tudo por (valido para ):
Agora, essa é uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos chamar , então:

Passo 6

Temos agora:
Dividindo por :
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos a equação por :
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então:
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, vamos integrar novamente para achar :
Onde é outra constante de integração. Porém, como a constante já é arbitrária, podemos escrever:
Sem perda de generalidade, podemos considerar para uma solução particular, então:

Passo 9

Voltando à nossa suposição inicial:
Como é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para e escrever:

Passo 10

Agora que temos as duas soluções e , podemos escrever a solução geral da EDO como uma combinação linear delas:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições iniciais, se houver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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