Sabendo que
é uma solução para
, use redução de ordem para encontrar uma segunda solução no intervalo
. Escreva a solução geral a dois parâmetros da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
E já sabemos que uma das soluções dessa equação é
. O objetivo aqui é encontrar uma segunda solução usando uma técnica chamada redução de ordem. A gente vai precisar lembrar como aplicar essa técnica e como montar a solução geral da EDO com as duas soluções encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma redução de ordem. Quando a gente já conhece uma solução
de uma EDO de segunda ordem, a redução de ordem é um método para encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de
. A ideia é supor que
tem a forma:
Onde
é uma função que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Vamos aplicar isso aqui. Sabemos que
, então nossa suposição é:
Agora, precisamos encontrar
e
de
:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação original:
Vamos simplificar isso:
Combine os termos semelhantes:
Passo 5
A equação que ficou é:
Vamos dividir tudo por
(valido para
):
Agora, essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então:
Passo 6
Temos agora:
Dividindo por
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Agora, vamos integrar novamente para achar
:
Onde
é outra constante de integração. Porém, como a constante
já é arbitrária, podemos escrever:
Sem perda de generalidade, podemos considerar
para uma solução particular, então:
Passo 9
Voltando à nossa suposição inicial:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para
e escrever:
Passo 10
Agora que temos as duas soluções
e
, podemos escrever a solução geral da EDO como uma combinação linear delas:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições iniciais, se houver.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: