(Sadiku - 5.19) Uma esfera de raio a e constante dielétrica
tem uma densidade uniforme de carga de
No centro da esfera, demonstre que:
No centro da esfera, demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera com raio $ a $, uma constante dielétrica $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $ e uma densidade de carga uniforme $ \rho_{0} $. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico $ V $ no centro dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre campo elétrico e potencial elétrico dentro de um material dielétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o campo elétrico $ E $ dentro da esfera no ponto central. Em uma distribuição de carga uniforme, o campo elétrico dentro de uma esfera com dieléctrico pode ser calculado usando a lei de Gauss adaptada para materiais dielétricos. A lei de Gauss nos ajuda a relacionar o campo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada.
Passo 3
A lei de Gauss para dielétricos é dada por:
onde $ \mathbf{D} $ é o deslocamento elétrico, $ d\mathbf{A} $ é o elemento de área, e $ Q_{livre} $ é a carga livre dentro da superfície gaussiana. O deslocamento elétrico está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pela relação:
Passo 4
Para uma esfera de raio $ r \leq a $, a carga livre dentro de uma superfície gaussiana de raio $ r $ é:
Aplicando a lei de Gauss:
Simplificando, encontramos o campo elétrico dentro da esfera:
Passo 5
Agora que temos o campo elétrico $ E® = \frac{\rho_{0} r}{3 \varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}}} $, podemos encontrar o potencial elétrico $ V $ no centro da esfera. Sabemos que o potencial em um ponto é a integral do campo elétrico ao longo do caminho desde esse ponto até um ponto de referência (geralmente o infinito). Porém, dentro da esfera, vamos integrar do centro até a superfície.
A relação entre potencial e campo elétrico é:
Passo 6
Integrando o campo elétrico de 0 até $ a $:
Calculando a integral:
Como estamos considerando potenciais relativos, podemos ajustar o sinal para ficar positivo:
Passo 7
Porém, na presença de um dielétrico, há uma contribuição extra ao potencial devido à polarização do material. Essa contribuição adiciona um termo proporcional à constante dielétrica $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $. Somando as duas contribuições, obtemos:
Resposta
O potencial elétrico no centro da esfera é: