(Sadiku - 5.19) Uma esfera de raio a e constante dielétrica varepsilonr tem uma densidade uniforme de carga de rho0
Determine o potencial na superfície da esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o potencial na superfície de uma esfera que tem raio $ a $, uma constante dielétrica $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $, e uma densidade de carga uniforme $ \rho_{0} $. Estamos lidando com eletrostática aqui, especificamente com a distribuição de carga em materiais dielétricos. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, em seguida, integrar esse campo para achar o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a constante dielétrica $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $. Ela mede a capacidade de um material em reduzir o campo elétrico dentro dele comparado ao vácuo. Isso significa que o campo elétrico dentro da esfera vai ser afetado por essa constante.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro da esfera. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 varepsilonr
Onde $ Q_{int} $ é a carga interna dentro de um raio $ r \leq a $.
Como a carga está uniformemente distribuída, a carga interna $ Q_{int} $ é:
Qint
Substituindo na Lei de Gauss:
r <= a
Simplificando para encontrar $ E $:
Qint

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico dentro da esfera, vamos encontrar o potencial elétrico $ V $ na superfície. O potencial é dado pela integral do campo elétrico:
V
Mas como o campo elétrico fora da esfera com dielétrico é diferente, vamos dividir a integral em duas partes: de infinito até a superfície e de dentro da esfera até a superfície.

Passo 5

Primeiro, consideramos o campo elétrico fora da esfera. Para $ r \geq a $, o campo elétrico devido a uma esfera com carga total $ Q $ é:
r >= a
Onde $ Q = \rho_{0} \cdot \frac{4}{3} \pi a^{3} $.
Integrando esse campo de $ a $ até o infinito:
Q
Substituindo $ Q $:
Efora = Q4 pi varepsilon0 varepsilonr r^2

Passo 6

Agora, consideramos o campo elétrico dentro da esfera. Já tínhamos:
Edentro = rho0 r3 varepsilon0 varepsilonr
Integrando de $ 0 $ até $ a $:
0
Mas o potencial total na superfície é a soma dos potenciais de fora e de dentro:
a

Resposta

O potencial na superfície da esfera é:
V = rho0 a^22 varepsilon0 varepsilonr

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