(Sadiku - 5.29) Duas regiões dielétricas homogêneas 1 ( rho <= 4 cm ) e 2 ( rho >= 4 cm ) tem constantes dielétricas 3.5 e 1.5, respectivamente. Se D2=12 arho-6 aphi+9 az nC / m^2, calcule:
E1 e D1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas regiões com materiais dielétricos diferentes e quer que a gente calcule os campos elétricos $ E_1 $ e $ D_1 $ na primeira região. A matéria envolvida aqui é a “Eletricidade e Magnetismo”, especificamente sobre dielétricos homogêneos e condições de contorno para os campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender como os campos elétricos $ \mathbf{E} $ e de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ se comportam em diferentes materiais e como eles se relacionam na interface entre essas regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pela constante dielétrica $ \kappa $ do material. A relação é dada por:
D
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, como temos duas regiões com diferentes constantes dielétricas, precisamos aplicar as condições de contorno na interface entre elas (no raio $ \rho = 4 $ cm). As condições nos dizem que o componente normal de $ \mathbf{D} $ é contínuo se não houver cargas livres na superfície. Ou seja:
rho = 4
Onde $ D_{1n} $ e $ D_{2n} $ são os componentes normais de $ \mathbf{D} $ nas regiões 1 e 2, respectivamente.

Passo 4

Observando o vetor $ \mathbf{D}_2 $ dado:
D2
O componente normal é aquele na direção radial $ \mathbf{a}{\rho} $. Então, $ D{2n} = 12 $ nC/m².

Passo 5

Aplicando a condição de continuidade para o componente normal de $ \mathbf{D} $:
D
Então, já encontramos $ D_1 $.

Passo 6

Agora, para encontrar $ E_1 $, usamos a relação entre $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{E} $:
E1
Isolando $ \mathbf{E}_1 $:
D

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
  • $ \kappa_1 = 3.5 $
  • $ \mathbf{D}_1 = 12 $ nC/m²
  • $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
Vamos calcular $ E_1 $:
kappa1 = 3.5

Passo 8

Fazendo as contas:
E1 = 12 times 10^-93.5 times 8.85 times 10^-12 approx 12 times 10^-93.0975 times 10^-11 approx 387.6 times 10^2 , N/C
Aproximando:
E1 approx 3.88 times 10^4 , N/C

Resposta

boxed D1 &= 12, nC/m^2 E1 &approx 3.88 times 10^4, N/C

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