(Sadiku - 5.29) Duas regiões dielétricas homogêneas 1 (
) e 2 (
cm ) tem constantes dielétricas 3.5 e 1.5, respectivamente. Se
, calcule:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas regiões com materiais dielétricos diferentes e quer que a gente calcule os campos elétricos $ E_1 $ e $ D_1 $ na primeira região. A matéria envolvida aqui é a “Eletricidade e Magnetismo”, especificamente sobre dielétricos homogêneos e condições de contorno para os campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender como os campos elétricos $ \mathbf{E} $ e de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ se comportam em diferentes materiais e como eles se relacionam na interface entre essas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pela constante dielétrica $ \kappa $ do material. A relação é dada por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, como temos duas regiões com diferentes constantes dielétricas, precisamos aplicar as condições de contorno na interface entre elas (no raio $ \rho = 4 $ cm). As condições nos dizem que o componente normal de $ \mathbf{D} $ é contínuo se não houver cargas livres na superfície. Ou seja:
Onde $ D_{1n} $ e $ D_{2n} $ são os componentes normais de $ \mathbf{D} $ nas regiões 1 e 2, respectivamente.
Passo 4
Observando o vetor $ \mathbf{D}_2 $ dado:
O componente normal é aquele na direção radial $ \mathbf{a}{\rho} $. Então, $ D{2n} = 12 $ nC/m².
Passo 5
Aplicando a condição de continuidade para o componente normal de $ \mathbf{D} $:
Então, já encontramos $ D_1 $.
Passo 6
Agora, para encontrar $ E_1 $, usamos a relação entre $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{E} $:
Isolando $ \mathbf{E}_1 $:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
- $ \kappa_1 = 3.5 $
- $ \mathbf{D}_1 = 12 $ nC/m²
- $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
Vamos calcular $ E_1 $:
Passo 8
Fazendo as contas:
Aproximando: