(Sadiku - 6.44) Um capacitor cilíndrico tem um raio interno a e um raio externo b e é preenchido com um dielétrico não homogêneo, tendo varepsilon=varepsilon0 k / rho, onde k é uma constante. Calcule a capacitância por unidade de comprimento do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor cilíndrico com raio interno a e raio externo b, preenchido com um dielétrico não homogêneo. O conteúdo que vamos usar aqui é da eletrostática, especificamente sobre capacitância de capacitores com dielétricos. Precisamos calcular a capacitância por unidade de comprimento desse capacitor, levando em conta que a permissividade elétrica ε varia com a distância radial ρ.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral para a capacitância de um capacitor cilíndrico. A capacitância C por unidade de comprimento é dada por:
C = 2pivarepsilonln(b/a)
Mas essa fórmula assume que a permissividade ε é constante. No nosso caso, ε varia com ρ, então precisamos adaptar a fórmula.

Passo 3

Quando a permissividade não é constante, a capacitância pode ser calculada usando a integral que considera a variação de ε com ρ. A expressão fica assim:
C = 2piln(b/a) integrala^b varepsilon(rho)rho , drho
Aqui, ε(ρ) é a permissividade que depende de ρ.

Passo 4

Sabemos que ε = \varepsilon_{0} \frac{k}{\rho}. Vamos substituir essa expressão na integral:
C = 2piln(b/a) integrala^b varepsilon0 krhorho , drho = 2pivarepsilon0kln(b/a) integrala^b 1rho^2 , drho
Agora, vamos calcular a integral:
integral 1rho^2 , drho = -1rho
Aplicando os limites de a a b:
[ -1rho ]a^b = -1b + 1a = 1a - 1b

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na expressão da capacitância:
C = 2pivarepsilon0kln(b/a) ( 1a - 1b ) = 2pivarepsilon0k (b - a)a b ln(b/a)

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento do capacitor é:
C = 2pivarepsilon0k (b - a)a b ln(ba)

Exercícios relacionados