(Sadiku - 6.44) Um capacitor cilíndrico tem um raio interno a e um raio externo b e é preenchido com um dielétrico não homogêneo, tendo
, onde
é uma constante. Calcule a capacitância por unidade de comprimento do capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor cilíndrico com raio interno a e raio externo b, preenchido com um dielétrico não homogêneo. O conteúdo que vamos usar aqui é da eletrostática, especificamente sobre capacitância de capacitores com dielétricos. Precisamos calcular a capacitância por unidade de comprimento desse capacitor, levando em conta que a permissividade elétrica ε varia com a distância radial ρ.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral para a capacitância de um capacitor cilíndrico. A capacitância C por unidade de comprimento é dada por:
Mas essa fórmula assume que a permissividade ε é constante. No nosso caso, ε varia com ρ, então precisamos adaptar a fórmula.
Passo 3
Quando a permissividade não é constante, a capacitância pode ser calculada usando a integral que considera a variação de ε com ρ. A expressão fica assim:
Aqui, ε(ρ) é a permissividade que depende de ρ.
Passo 4
Sabemos que ε = \varepsilon_{0} \frac{k}{\rho}. Vamos substituir essa expressão na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a a b:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na expressão da capacitância:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento do capacitor é: