(Sadiku - 6.13) Dois cilindros concêntricos, rho=2 cm e rho=6 cm, são mantidos a V=60 V e V=-20 V, respectivamente. Calcule V, E, D em rho=4 cm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre cilindros concêntricos em eletricidade, onde dois cilindros têm raios de 2 cm e 6 cm e estão mantidos com potenciais de 60 V e -20 V, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico $ V $, o campo elétrico $ E $ e o deslocamento elétrico $ D $ no ponto que está a 4 cm do centro, ou seja, $ \rho = 4 $ cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos em geometria cilíndrica e leis de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o potencial elétrico varia no espaço entre os cilindros. Como os cilindros são concêntricos e têm potenciais conhecidos, podemos assumir que o potencial varia apenas com a distância radial $ \rho $.
A relação geral para o potencial entre dois cilindros concêntricos é dada por:
rho
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno fornecidas pelos potenciais dos cilindros.

Passo 3

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Para $ \rho = 2 $ cm, $ V = 60 $ V:
A
Para $ \rho = 6 $ cm, $ V = -20 $ V:
B
Vamos resolver esse sistema de equações para $ A $ e $ B $.

Passo 4

Subtraindo a equação (2) da equação (1):
60 - (-20) = A (ln(2) - ln(6))
80 = A ln(26)
80 = A ln(13)
A = 80ln(13) = 80-ln(3) = -80ln(3)
Agora, substituindo o valor de $ A $ de volta na equação (1) para encontrar $ B $:
A
B

Passo 5

Agora que temos $ A $ e $ B $, podemos expressar o potencial $ V(\rho) $:
A
Simplificando:
B
V(rho)

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico $ E $. Sabemos que $ E = -\frac{dV}{d\rho} $.
Differenciando $ V(\rho) $:
E
E = -dVdrho
V(rho)

Passo 7

O deslocamento elétrico $ D $ está relacionado ao campo elétrico $ E $ pela relação:
D
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, aproximadamente $ 8.85 \times 10^{-12} , C2/(\text{N·m}2) $.
Então,
E

Passo 8

Agora, vamos calcular $ V $, $ E $ e $ D $ para $ \rho = 4 $ cm.
Primeiro, o potencial:
V
Calculando numericamente:
E
D
Agora, o campo elétrico:
rho = 4
E finalmente, o deslocamento elétrico:
V(4) = 60 + 80ln(3) ln(24) = 60 + 80ln(3) ln(12)

Resposta

Para $ \rho = 4 $ cm, os valores são:
  • Potencial $ V \approx 9.4 , V $
  • Campo elétrico $ E \approx 18.2 , V/m $
  • Deslocamento elétrico $ D \approx 1.61 \times 10^{-10} , C/m^2 $

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