(Sadiku - 6.13) Dois cilindros concêntricos,
e
, são mantidos a
e
, respectivamente. Calcule V, E, D em
cm .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre cilindros concêntricos em eletricidade, onde dois cilindros têm raios de 2 cm e 6 cm e estão mantidos com potenciais de 60 V e -20 V, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico $ V $, o campo elétrico $ E $ e o deslocamento elétrico $ D $ no ponto que está a 4 cm do centro, ou seja, $ \rho = 4 $ cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos em geometria cilíndrica e leis de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o potencial elétrico varia no espaço entre os cilindros. Como os cilindros são concêntricos e têm potenciais conhecidos, podemos assumir que o potencial varia apenas com a distância radial $ \rho $.
A relação geral para o potencial entre dois cilindros concêntricos é dada por:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno fornecidas pelos potenciais dos cilindros.
Passo 3
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Para $ \rho = 2 $ cm, $ V = 60 $ V:
Para $ \rho = 6 $ cm, $ V = -20 $ V:
Vamos resolver esse sistema de equações para $ A $ e $ B $.
Passo 4
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Agora, substituindo o valor de $ A $ de volta na equação (1) para encontrar $ B $:
Passo 5
Agora que temos $ A $ e $ B $, podemos expressar o potencial $ V(\rho) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico $ E $. Sabemos que $ E = -\frac{dV}{d\rho} $.
Differenciando $ V(\rho) $:
Passo 7
O deslocamento elétrico $ D $ está relacionado ao campo elétrico $ E $ pela relação:
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, aproximadamente $ 8.85 \times 10^{-12} , C2/(\text{N·m}2) $.
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular $ V $, $ E $ e $ D $ para $ \rho = 4 $ cm.
Primeiro, o potencial:
Calculando numericamente:
Agora, o campo elétrico:
E finalmente, o deslocamento elétrico:
Resposta
Para $ \rho = 4 $ cm, os valores são:
- Potencial $ V \approx 9.4 , V $
- Campo elétrico $ E \approx 18.2 , V/m $
- Deslocamento elétrico $ D \approx 1.61 \times 10^{-10} , C/m^2 $