(Sadiku - 6.34) As cascas concêntricas r=20 cm e r=30 cm são mantidas a V=0 e V=50, respectivamente. Se o espaço entre elas é preenchido com material dielétrico ( varepsilon=3.1 varepsilon0, sigma=10^-12 S / m ), encontre:
a resistência de perdas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cascas concêntricas, uma de raio 20 cm e outra de 30 cm, com potenciais elétricos de 0 V e 50 V, respectivamente. Entre elas, tem um material dielétrico com permissividade varepsilon = 3.1,varepsilon0 e condutividade sigma = 10^-12,S/m. A gente precisa encontrar a resistência de perdas desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, corrente elétrica em dielétricos e resistência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico E entre as duas cascas. Em configurações concêntricas esféricas, o campo elétrico entre duas esferas é dado por:
E(r) = Vr ln(r2r1)
onde:
  • V é a diferença de potencial (50 V),
  • r1 = 0,20,m (raio interno),
  • r2 = 0,30,m (raio externo).
Vamos substituir esses valores na fórmula:
E(r) = 50r ln(0,300,20)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a densidade de corrente J que flui através do dielétrico devido à sua condutividade. A densidade de corrente é dada por:
J = sigma E
Substituindo E(r) que encontramos:
J = sigma cdot 50r ln(0,300,20)

Passo 4

Para achar a corrente total I, vamos integrar a densidade de corrente J sobre a área superficial das cascas. A área de uma esfera é:
A = 4pi r^2
Então, a corrente total é:
I = J cdot A = sigma cdot 50r ln(0,300,20) cdot 4pi r^2 = 4pi sigma 50 rln(0,300,20)

Passo 5

Agora, para encontrar a resistência de perdas Rperdas, usamos a relação:
Rperdas = VI
Substituindo I que encontramos:
Rperdas = 504pi sigma 50 rln(0,300,20)
Simplificando:
Rperdas = ln(0,300,20)4pi sigma r

Passo 6

Vamos agora substituir os valores numéricos:
ln(0,300,20) = ln(1,5) approx 0,4055
pi approx 3,1416
sigma = 10^-12,S/m
r = r1 = 0,20,m
Substituindo na fórmula:
Rperdas = 0,40554 times 3,1416 times 10^-12 times 0,20 approx 0,40552,5133 times 10^-12 approx 1,612 times 10^11,Omega

Resposta

A resistência de perdas é aproximadamente 1,61 times 10^11,Omega.

Exercícios relacionados