Samara deseja empilhar um monte de areia na forma de um cone, dentro de uma área circular. O raio do círculo ocupado pelo monte de areia é R e nenhuma areia deve sair deste círculo, veja a Figura 1. Se us é o coeficiente de atrito estático entre a camada de areia da superficie inclinada e a camada logo abaixo (sobre a qual ela pode deslizar), determine o volume de areia que pode ser empilhado em função de R e mu s. Dado que o volume do cone é A cdot h / B, onde A é a área da base e h é a altura do cone. (Resp. : V=pi mu R^33 )
Figura 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A Samara quer fazer um monte de areia em forma de cone dentro de uma área circular com raio . A areia não pode sair desse círculo, e temos um coeficiente de atrito estático entre as camadas de areia. Nosso objetivo é encontrar o volume máximo de areia que ela pode empilhar, expressando esse volume em função de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria dos cones e de equilíbrio estático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cone. A fórmula geral é:
V = 13 pi R^2 h
onde é o raio da base e é a altura do cone. Mas aqui, queremos relacionar a altura com o raio e o coeficiente de atrito .

Passo 3

Para garantir que a areia não deslize para fora do cone, a superfície inclinada do cone deve formar um ângulo que está relacionado ao coeficiente de atrito estático tan(theta) = mus . Esse ângulo é conhecido como ângulo de repouso .
A relação entre o ângulo de repouso e o coeficiente de atrito é dada por:

Passo 4

Agora, vamos relacionar o ângulo tan(theta) = hR com as dimensões do cone. No cone, temos um triângulo retângulo formado pela altura , o raio e a geratriz (a distância inclinada do vértice à borda da base).
A tangente do ângulo é a relação entre a altura e o raio:

Passo 5

Igualando as duas expressões para hR = mus , temos:
h = mus cdot R
Dessa forma, podemos expressar a altura em função de e :

Passo 6

Agora que temos V = 13 pi R^2 (mus R) = 13 pi mus R^3 em termos de e , substituímos na fórmula do volume do cone:

Resposta

V = pi mus R^33

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