Samara deseja empilhar um monte de areia na forma de um cone, dentro de uma área circular. O raio do círculo ocupado pelo monte de areia é R e nenhuma areia deve sair deste círculo, veja a Figura 1. Se us é o coeficiente de atrito estático entre a camada de areia da superficie inclinada e a camada logo abaixo (sobre a qual ela pode deslizar), determine o volume de areia que pode ser empilhado em função de
e
. Dado que o volume do cone é
, onde A é a área da base e h é a altura do cone. (Resp.
)
Figura 1
Figura 1
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A Samara quer fazer um monte de areia em forma de cone dentro de uma área circular com raio
. A areia não pode sair desse círculo, e temos um coeficiente de atrito estático
entre as camadas de areia. Nosso objetivo é encontrar o volume máximo de areia que ela pode empilhar, expressando esse volume em função de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria dos cones e de equilíbrio estático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cone. A fórmula geral é:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone. Mas aqui, queremos relacionar a altura
com o raio
e o coeficiente de atrito
.
Passo 3
Para garantir que a areia não deslize para fora do cone, a superfície inclinada do cone deve formar um ângulo que está relacionado ao coeficiente de atrito estático
. Esse ângulo é conhecido como ângulo de repouso
.
A relação entre o ângulo de repouso e o coeficiente de atrito é dada por:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o ângulo
com as dimensões do cone. No cone, temos um triângulo retângulo formado pela altura
, o raio
e a geratriz (a distância inclinada do vértice à borda da base).
A tangente do ângulo
é a relação entre a altura e o raio:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
, temos:
Dessa forma, podemos expressar a altura
em função de
e
:
Passo 6
Agora que temos
em termos de
e
, substituímos na fórmula do volume do cone: