Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas x0y horizontal, com velocidade escalar constante. No instante s ela está no ponto com velocidade , e aceleração no sentido positivo de x. No instante s ela tem uma velocidade e uma aceleração no sentido positivo de y. Quais são as coordenadas
(a) x e
(b) y do centro da trajetória circular se a diferença é menor que o período?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento circular com velocidade constante. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática circular, como velocidade, aceleração centrípeta e as coordenadas do centro da trajetória. A ideia é, a partir das informações dadas nos instantes e , descobrir onde está o centro do círculo que a partícula está descrevendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular uniforme, a velocidade da partícula está sempre tangente à trajetória, e a aceleração é centrípeta, ou seja, aponta para o centro do círculo. A aceleração centrípeta é dada por:
onde é a velocidade e é o raio da trajetória.

Passo 3

No instante s, a partícula está no ponto e sua velocidade é . Isso significa que a partícula está se movendo na direção positiva do eixo y. Como a aceleração está no sentido positivo de x, o centro do círculo está na direção positiva de x a partir da posição inicial.

Passo 4

No instante s, a velocidade é , apontando para a direção negativa do eixo x, e a aceleração está no sentido positivo de y. Isso indica que o centro do círculo está na direção positiva de y a partir da posição nesse instante.

Passo 5

Como a diferença de tempo s é menor que o período, a partícula não completou uma volta completa no círculo. Isso nos ajuda a determinar a posição do centro em relação aos pontos dados.

Passo 6

Vamos chamar as coordenadas do centro do círculo de . No instante , a aceleração centrípeta aponta para o positivo de x, então:
E no instante , a aceleração centrípeta aponta para o positivo de y, então:
Como a velocidade é constante, podemos usar a mesma expressão para nos dois instantes.

Passo 7

Sabemos que , mas precisamos encontrar uma relação entre as posições para determinar e . Observando que a partícula está se movendo de uma posição para outra com velocidade constante, podemos inferir que o centro está a uma distância igual ao raio do círculo em relação às posições dadas.

Passo 8

Calculando o raio da trajetória circular. Como a velocidade é constante, podemos usar:
Mas como não temos a frequência angular , podemos relacionar as posições diretamente.

Passo 9

Considerando as posições nos instantes e , e sabendo que a aceleração centrípeta muda de direção, podemos deduzir que o centro do círculo está a uma distância de cada posição, nas direções das acelerações.

Passo 10

Finalmente, ao analisar as direções das acelerações nos dois instantes, concluímos que:
Como o raio é o mesmo nos dois casos, resolvemos o sistema para encontrar e .

Resposta

As coordenadas do centro da trajetória circular são:
Onde é o raio da trajetória, que pode ser determinado a partir das condições dadas.

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