Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas x0y horizontal, com velocidade escalar constante. No instante
s ela está no ponto
com velocidade
, e aceleração no sentido positivo de x. No instante
s ela tem uma velocidade
e uma aceleração no sentido positivo de y. Quais são as coordenadas
(a) x e
(b) y do centro da trajetória circular se a diferença
é menor que o período?
(a) x e
(b) y do centro da trajetória circular se a diferença
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento circular com velocidade constante. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática circular, como velocidade, aceleração centrípeta e as coordenadas do centro da trajetória. A ideia é, a partir das informações dadas nos instantes
e
, descobrir onde está o centro do círculo que a partícula está descrevendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular uniforme, a velocidade da partícula está sempre tangente à trajetória, e a aceleração é centrípeta, ou seja, aponta para o centro do círculo. A aceleração centrípeta é dada por:
onde
é a velocidade e
é o raio da trajetória.
Passo 3
No instante
s, a partícula está no ponto
e sua velocidade é
. Isso significa que a partícula está se movendo na direção positiva do eixo y. Como a aceleração está no sentido positivo de x, o centro do círculo está na direção positiva de x a partir da posição inicial.
Passo 4
No instante
s, a velocidade é
, apontando para a direção negativa do eixo x, e a aceleração está no sentido positivo de y. Isso indica que o centro do círculo está na direção positiva de y a partir da posição nesse instante.
Passo 5
Como a diferença de tempo
s é menor que o período, a partícula não completou uma volta completa no círculo. Isso nos ajuda a determinar a posição do centro em relação aos pontos dados.
Passo 6
Vamos chamar as coordenadas do centro do círculo de
. No instante
, a aceleração centrípeta aponta para o positivo de x, então:
E no instante
, a aceleração centrípeta aponta para o positivo de y, então:
Como a velocidade é constante, podemos usar a mesma expressão para
nos dois instantes.
Passo 7
Sabemos que
, mas precisamos encontrar uma relação entre as posições para determinar
e
. Observando que a partícula está se movendo de uma posição para outra com velocidade constante, podemos inferir que o centro está a uma distância igual ao raio do círculo em relação às posições dadas.
Passo 8
Calculando o raio
da trajetória circular. Como a velocidade é constante, podemos usar:
Mas como não temos a frequência angular
, podemos relacionar as posições diretamente.
Passo 9
Considerando as posições nos instantes
e
, e sabendo que a aceleração centrípeta muda de direção, podemos deduzir que o centro do círculo está a uma distância
de cada posição, nas direções das acelerações.
Passo 10
Finalmente, ao analisar as direções das acelerações nos dois instantes, concluímos que:
Como o raio
é o mesmo nos dois casos, resolvemos o sistema para encontrar
e
.
Resposta
As coordenadas do centro da trajetória circular são:
Onde
é o raio da trajetória, que pode ser determinado a partir das condições dadas.
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)
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