São dadas as coordenadas de u e v em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u e v.
u=(raiz32, 12, 0), v=(raiz3 2, 12, raiz3).

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos encontrar a medida angular entre dois vetores, e , dados em uma base ortonormal. Vamos usar conceitos de Produto Escalar e Norma dos Vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo cos theta = u cdot v|u| |v| entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Então, precisamos calcular o produto escalar de e e também as normas de cada vetor.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (raiz32) cdot (raiz3 cdot 2) + (12) cdot (12) + 0 cdot raiz3 . Isso é feito multiplicando os componentes correspondentes dos vetores e somando:
u cdot v = (raiz32 times 2raiz3) + (12 times 12) + 0
u cdot v = 3 + 14 = 134

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e |u| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1 . A norma de um vetor |v| = raiz(2raiz3)^2 + (12)^2 + (raiz3)^2 = raiz12 + 14 + 3 = raiz15.25 = raiz614 = raiz612 é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as normas, vamos substituir na fórmula do cos theta = 1341 times raiz612 = 134raiz612 = 134 times 2raiz61 = 132raiz61 :
theta = arccos(132raiz61)
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:

Resposta

A medida angular entre e é radianos.

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