Uma transformação linear T: R^3 R^2 pode ser injetora? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se uma transformação linear pode ser injeção. Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e conceitos como dimensão, imagem e núcleo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se aplica entre espaços vetoriais de diferentes dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, transforma vetores de 3 dimensões ( ) em vetores de 2 dimensões ( ).

Passo 3

Agora, o que significa ser injetora? Uma transformação é injetora se vetores diferentes em resultam em vetores diferentes em . Em outras palavras, sempre que .

Passo 4

Para verificar se dim(domínio) = dim(ima>=m) + dim(núc<=o) pode ser injetora, usamos o Teorema da Dimensão, também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem. Ele diz:
3 = dim(ima>=m de T) + dim(núc<=o de T) íú
Aplicando ao nosso caso:
ú

Passo 5

A dimensão da imagem de dim(ima>=m de T) <= 2 não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada, que é 2 ( 3 <= 2 + dim(núc<=o de T) ). Então:
dim(núc<=o de T) >= 1
Substituindo na equação do Teorema da Dimensão:
ú
ú

Passo 6

Isso significa que o núcleo de tem pelo menos dimensão 1, ou seja, existe um vetor não nulo em que é mapeado para o vetor zero em . Portanto, há pelo menos dois vetores em que se transformam no mesmo vetor em , o que impede a injeção.

Resposta

Não, uma transformação linear não pode ser injetora, pois a dimensão maior do domínio garante que o núcleo de tenha pelo menos dimensão 1, resultando em vetores distintos sendo mapeados para o mesmo vetor em .

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