Uma transformação linear
pode ser injetora? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se uma transformação linear
pode ser injeção. Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e conceitos como dimensão, imagem e núcleo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se aplica entre espaços vetoriais de diferentes dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
transforma vetores de 3 dimensões (
) em vetores de 2 dimensões (
).
Passo 3
Agora, o que significa ser injetora? Uma transformação
é injetora se vetores diferentes em
resultam em vetores diferentes em
. Em outras palavras,
sempre que
.
Passo 4
Para verificar se
pode ser injetora, usamos o Teorema da Dimensão, também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem. Ele diz:
Aplicando ao nosso caso:
Passo 5
A dimensão da imagem de
não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada, que é 2 (
). Então:
Substituindo na equação do Teorema da Dimensão:
Passo 6
Isso significa que o núcleo de
tem pelo menos dimensão 1, ou seja, existe um vetor não nulo em
que é mapeado para o vetor zero em
. Portanto, há pelo menos dois vetores em
que se transformam no mesmo vetor em
, o que impede a injeção.
Resposta
Não, uma transformação linear
não pode ser injetora, pois a dimensão maior do domínio garante que o núcleo de
tenha pelo menos dimensão 1, resultando em vetores distintos sendo mapeados para o mesmo vetor em
.