Determine x tal que os vetores u=(2, x,-1) e v=(1,3,-1) sejam ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois vetores, u = (2, x, -1) e v = (1, 3, -1), e precisa encontrar o valor de x que faz com que esses vetores sejam ortogonais. Ortogonais significa que eles são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, a gente vai usar o conceito de produto escalar de vetores.

Passo 2

O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Se o produto escalar for igual a zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados:
u cdot v = (2)(1) + (x)(3) + (-1)(-1)
Simplificando cada termo:
2 cdot 1 = 2
x cdot 3 = 3x
-1 cdot -1 = 1
Então, substituindo na expressão:
2 + 3x + 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de x:
2 + 3x + 1 = 0
Primeiro, somamos os números:
3x + 3 = 0
Agora, isolamos o termo com x:
3x = -3
E finalmente, dividimos por 3:
x = -1

Resposta

O valor de x que torna os vetores u e v ortogonais é x = -1.

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