São dados dois vetores:
a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i-(8,0 m) j
Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a+b; (g) o módulo e (h) o ângulo de b-a; (i) o módulo e (j) o ângulo de a-b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano:
a = (4,0 m) i - (3,0 m) j
b = (6,0 m) i - (8,0 m) j
O conteúdo envolve operações vetoriais básicas como soma, subtração, cálculo de módulo e determinação de ângulos. Vamos precisar usar fórmulas de módulo de vetor e funções trigonométricas para achar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor a. O módulo de um vetor v = vx i + vy j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso para a:
|a| = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 m

Passo 3

Agora, vamos determinar o ângulo que o vetor a forma com o eixo i. Usamos a função tangente:
theta = tan^-1(vyvx)
Para a:
thetaa = tan^-1(-34) approx -36,87^circ
Como o ângulo negativo indica direção abaixo do eixo , podemos também expressar como i se preferir ângulo positivo.

Passo 4

Vamos calcular o módulo do vetor b usando a mesma fórmula:
|b| = raiz6^2 + (-8)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10 m

Passo 5

Determinar o ângulo de b em relação ao eixo i:
thetab = tan^-1(-86) approx -53,13^circ
Ou 306,87^circ se preferir ângulo positivo.

Passo 6

Agora, vamos somar os vetores a e b:
a + b = (4 + 6) i + (-3 -8) j = 10 i - 11 j
Calculando o módulo de a + b:
|a + b| = raiz10^2 + (-11)^2 = raiz100 + 121 = raiz221 approx 14,87 m

Passo 7

Determinar o ângulo de a + b:
thetaa+b = tan^-1(-1110) approx -47,73^circ
Ou 312,27^circ se preferir ângulo positivo.

Passo 8

Vamos subtrair a de b:
b - a = (6 - 4) i + (-8 + 3) j = 2 i -5 j
Calculando o módulo de b - a:
|b - a| = raiz2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 25 = raiz29 approx 5,39 m

Passo 9

Determinar o ângulo de b - a:
thetab-a = tan^-1(-52) approx -68,20^circ
Ou 291,80^circ se preferir ângulo positivo.

Passo 10

Subtrair b de a:
a - b = (4 - 6) i + (-3 + 8) j = -2 i +5 j
Calculando o módulo de a - b:
|a - b| = raiz(-2)^2 +5^2 = raiz4 + 25 = raiz29 approx 5,39 m

Passo 11

Determinar o ângulo de a - b:
thetaa-b = tan^-1(5-2) approx 111,80^circ
Como o vetor está no segundo quadrante, o ângulo positivo é adequado.

Passo 12

Finalmente, vamos encontrar o ângulo entre as direções de b - a e a - b. Observamos que a - b é o vetor oposto de b - a, então a direção de um é oposta à do outro. Portanto, o ângulo entre eles é:
theta = 180^circ

Resposta

(a) |a| = 5 m
(b) thetaa approx -36,87^circ
© |b| = 10 m
(d) thetab approx -53,13^circ
(e) |a + b| approx 14,87 m
(f) thetaa+b approx -47,73^circ
(g) |b - a| approx 5,39 m
(h) thetab-a approx -68,20^circ
(i) |a - b| approx 5,39 m
(j) thetaa-b approx 111,80^circ
(k) O ângulo entre as direções de b - a e a - b é 180^circ.

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