São dados três deslocamentos em metros: d1=4 i+5 j-6 k, d2=-1 i+2 j+3 k e d3=4 i+3 j+2 k. Qual é a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores de deslocamento em metros:
d1 = 4,i + 5,j - 6,k, d2 = -1,i + 2,j + 3,k, d3 = 4,i + 3,j + 2,k
A pergunta é: Qual é a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano formado por d1 e d2?
Vamos precisar de conceitos de vetores, projeção de vetores e componentes perpendiculares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma componente de um vetor ser perpendicular a outro vetor. Se queremos encontrar a parte de d1 que é perpendicular a d2, precisamos remover a parte de d1 que está alinhada com d2.
Isso é feito calculando a projeção de d1 sobre d2 e subtraindo essa projeção de d1. A fórmula para a projeção de a sobre b é:
projb(a) = ( a cdot bb cdot b ) b

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar ( d1 cdot d2) para usar na fórmula da projeção:
d1 cdot d2 = (4)(-1) + (5)(2) + (-6)(3) = -4 + 10 - 18 = -12

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar de d2 cdot d2:
d2 cdot d2 = (-1)^2 + (2)^2 + (3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 5

Com esses resultados, podemos encontrar a projeção de d1 sobre d2:
projd2(d1) = ( -1214 ) d2 = ( -67 )(-1,i + 2,j + 3,k) = 67,i - 127,j - 187,k

Passo 6

Agora, para achar a componente de d1 perpendicular a d2, subtraímos a projeção de d1 sobre d2 de d1:
d1perp = d1 - projd2(d1) = (4,i + 5,j - 6,k) - (67,i - 127,j - 187,k)

Passo 7

Vamos realizar a subtração componente a componente:
d1perp &= (4 - 67)i + (5 + 127)j + (-6 + 187)k &= (287 - 67)i + (357 + 127)j + (-427 + 187)k &= 227,i + 477,j - 247,k

Resposta

A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2 é:
d1perp = 227,i + 477,j - 247,k

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