São dados três vetores em metros:
d1 & =-3 i+3 j+2 k d2 & =-2 i-4 j+2 k d3 & =2 i+3 j+1 k
Determine d1 cdot(d2 times d3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra vetorial! A gente tem três vetores, cada um com componentes nas direções $ \mathbf{i} $, $ \mathbf{j} $ e $ \mathbf{k} i é \mathbf{d}_1 j \mathbf{d}_2 k \mathbf{d}_3 $). Para isso, vamos precisar entender como funcionam o produto vetorial e o produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre $ \mathbf{d}_2 $ e $ \mathbf{d}_3 $. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ é dada pelo determinante de uma matriz:
d2
Vamos aplicar isso para $ \mathbf{d}_2 \times \mathbf{d}_3 $:
d3
Calculando o determinante:
a times b
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
d2 times d3
Então,
d2 times d3 = i & j & k -2 & -4 & 2 2 & 3 & 1

Passo 3

Agora, vamos fazer o produto escalar entre $ \mathbf{d}_1 $ e o resultado que encontramos do produto vetorial. O produto escalar entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados:
d1
Aplicando isso:
a
Calculando cada termo:
b
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
d1 cdot (d2 times d3) = (-3)(-10) + (3)(6) + (2)(2)
Somando tudo:
(-3)(-10) = 30

Resposta

O valor de $ \mathbf{d}{\mathbf{1}} \cdot\left(\mathbf{d}{2} \times \mathbf{d}_{3}\right) $ é 52.

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