São feitas 5 medições para conhecer o nível da octanagem da gasolina de um posto, obtendo-se, média e desvio padrão amostrais iguais a 80,4 % e 0,7 %, respectivamente.
a) Construa um intervalo de confiança (a 95 % de confiança) para o valor médio da octanagem da gasolina do posto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 5 medições da octanagem da gasolina de um posto, com média de 80,4% e desvio padrão de 0,7%. O que queremos é construir um intervalo de confiança de 95% para o valor médio real da octanagem dessa gasolina. Para isso, vamos precisar usar a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (menos de 30) e o desvio padrão da população não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando estamos trabalhando com uma amostra pequena e não conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
IC = barx pm talpha/2, , df times sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral.
  • talpha/2, , df é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança específico e graus de liberdade.
  • s é o desvio padrão amostral.
  • n é o tamanho da amostra.
  • sraizn é o erro padrão da média.

Passo 3

Vamos identificar cada elemento na nossa situação:
  • Média amostral ( barx): 80,4%
  • Desvio padrão amostral ( s): 0,7%
  • Tamanho da amostra ( n): 5
  • Graus de liberdade ( df): n - 1 = 4
  • Nível de confiança: 95%, então alpha = 0,05 e alpha/2 = 0,025
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t0,025, , 4 na tabela t de Student. Consultando a tabela, encontramos que t0,025, , 4 approx 2,776.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média:
sraizn = 0,7raiz5 approx 0,72,236 approx 0,313%
Agora, calculamos a margem de erro:
talpha/2, , df times sraizn = 2,776 times 0,313 approx 0,869%

Passo 5

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
IC = 80,4% pm 0,869%
Isso resulta em:
IC = [80,4% - 0,869%, , 80,4% + 0,869%] = [79,531%, , 81,269%]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média da octanagem da gasolina é de aproximadamente 79,53% a 81,27%.

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