São feitas 5 medições para conhecer o nível da octanagem da gasolina de um posto, obtendo-se, média e desvio padrão amostrais iguais a
e
, respectivamente.
a) Construa um intervalo de confiança (a
de confiança) para o valor médio da octanagem da gasolina do posto.
a) Construa um intervalo de confiança (a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 5 medições da octanagem da gasolina de um posto, com média de
e desvio padrão de
. O que queremos é construir um intervalo de confiança de 95% para o valor médio real da octanagem dessa gasolina. Para isso, vamos precisar usar a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (menos de 30) e o desvio padrão da população não é conhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando estamos trabalhando com uma amostra pequena e não conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
Onde:
-
é a média amostral. -
é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança específico e graus de liberdade. -
é o desvio padrão amostral. -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média.
Passo 3
Vamos identificar cada elemento na nossa situação:
- Média amostral (
): - Desvio padrão amostral (
): - Tamanho da amostra (
): 5 - Graus de liberdade (
): - Nível de confiança: 95%, então
e
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
na tabela t de Student. Consultando a tabela, encontramos que
.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média:
Agora, calculamos a margem de erro:
Passo 5
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Isso resulta em:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a média da octanagem da gasolina é de aproximadamente 79,53% a 81,27%.