São feitas 5 medições para conhecer o nível da octanagem da gasolina de um posto, obtendo-se, média e desvio padrão amostrais iguais a 80,4 % e 0,7 %, respectivamente.
b) Suponha que você tenha um carro que possa danificar-se caso seja abastecido com gasolina com baixa octanagem. O ideal é que o nível de octanagem seja superior a 80 %. Os dados amostrais fornecem evidências suficientes de que o nível da octanagem é superior a 80 % ? Use os dados do intervalo de confiança para responder a questão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se a gasolina vendida no posto tem um nível de octanagem acima de 80%, que é o ideal para evitar danos no carro. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Intervalo de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar da média amostral, do desvio padrão amostral e do tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos: fizemos 5 medições e calculamos a média ( barx) que é 80,4% e o desvio padrão amostral ( s) que é 0,7%. Queremos saber se, com base nessa amostra, podemos afirmar que a octanagem média é realmente superior a 80%.

Passo 3

Vamos construir um Intervalo de Confiança para a média da octanagem. Como a amostra é pequena (n = 5) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 times (sraizn)
Onde:
  • barx é a média amostral (80,4%)
  • s é o desvio padrão amostral (0,7%)
  • n é o tamanho da amostra (5)
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança escolhido.

Passo 4

Vamos escolher um nível de confiança de 95%, que é comum. Para uma confiança de 95% e com 4 graus de liberdade (n - 1 = 5 - 1 = 4), o valor crítico talpha/2 é aproximadamente 2,776 (você pode encontrar esse valor em tabelas de distribuição t ou usar uma calculadora).

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média:
Erro Padrão = sraizn = 0,7raiz5 approx 0,72,236 approx 0,313 ã

Passo 6

Em seguida, calculamos a margem de erro:
Mar>=m de Erro = talpha/2 times Erro Padrão = 2,776 times 0,313 approx 0,869 ã

Passo 7

Agora, construímos o intervalo de confiança:
80,4% pm 0,869% Rightarrow [80,4 - 0,869, ; 80,4 + 0,869] Rightarrow [79,531%, ; 81,269%]

Passo 8

Interpretação: Com 95% de confiança, podemos dizer que a média da octanagem está entre aproximadamente 79,53% e 81,27%.

Resposta

Como o limite inferior do intervalo de confiança (≈79,53%) está abaixo de 80%, não temos evidência suficiente para afirmar, com 95% de confiança, que o nível de octanagem é superior a 80%. Portanto, os dados amostrais não confirmam que a octanagem média é acima de 80%.

Exercícios relacionados