São feitas 5 medições para conhecer o nível da octanagem da gasolina de um posto, obtendo-se, média e desvio padrão amostrais iguais a
e
, respectivamente.
b) Suponha que você tenha um carro que possa danificar-se caso seja abastecido com gasolina com baixa octanagem. O ideal é que o nível de octanagem seja superior a
. Os dados amostrais fornecem evidências suficientes de que o nível da octanagem é superior a
? Use os dados do intervalo de confiança para responder a questão.
b) Suponha que você tenha um carro que possa danificar-se caso seja abastecido com gasolina com baixa octanagem. O ideal é que o nível de octanagem seja superior a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se a gasolina vendida no posto tem um nível de octanagem acima de 80%, que é o ideal para evitar danos no carro. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Intervalo de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar da média amostral, do desvio padrão amostral e do tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos: fizemos 5 medições e calculamos a média (
) que é 80,4% e o desvio padrão amostral (
) que é 0,7%. Queremos saber se, com base nessa amostra, podemos afirmar que a octanagem média é realmente superior a 80%.
Passo 3
Vamos construir um Intervalo de Confiança para a média da octanagem. Como a amostra é pequena (n = 5) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média amostral (80,4%) -
é o desvio padrão amostral (0,7%) -
é o tamanho da amostra (5) -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança escolhido.
Passo 4
Vamos escolher um nível de confiança de 95%, que é comum. Para uma confiança de 95% e com 4 graus de liberdade (n - 1 = 5 - 1 = 4), o valor crítico
é aproximadamente 2,776 (você pode encontrar esse valor em tabelas de distribuição t ou usar uma calculadora).
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média:
Passo 6
Em seguida, calculamos a margem de erro:
Passo 7
Agora, construímos o intervalo de confiança:
Passo 8
Interpretação: Com 95% de confiança, podemos dizer que a média da octanagem está entre aproximadamente 79,53% e 81,27%.
Resposta
Como o limite inferior do intervalo de confiança (≈79,53%) está abaixo de 80%, não temos evidência suficiente para afirmar, com 95% de confiança, que o nível de octanagem é superior a 80%. Portanto, os dados amostrais não confirmam que a octanagem média é acima de 80%.