São fornecidos os seguintes dados para uma bomba centrífuga comercial que opera com água: r1=100 mm, r2=175 mm, beta1=30^circ, beta2=20^circ, rotação =1440 rpm. Calcule: a) a vazão no ponto de projeto,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma bomba centrífuga que está operando com água e nos dá alguns valores: raios das palhetas na entrada ( r1 = 100,mm) e na saída ( r2 = 175,mm), ângulos das palhetas na entrada ( beta1 = 30^circ) e na saída ( beta2 = 20^circ), e a rotação da bomba ( 1440,rpm). Nosso objetivo aqui é calcular a vazão no ponto de projeto dessa bomba.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos aplicados a bombas centrífugas, especialmente os triângulos de velocidade que relacionam as velocidades no fluido e nas palhetas da bomba. Vamos precisar entender como as velocidades absolutas e relativas se relacionam com os ângulos das palhetas e como a rotação influencia na vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a rotação da bomba de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), pois isso facilita os cálculos com velocidades angulares.
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
omega = 2pi times rpm60
Substituindo os valores:
omega = 2pi times 144060 = 2880pi60 = 48pi approx 150.796,rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade tangencial ( U) na entrada e na saída da bomba usando a fórmula:
U = omega times r
Primeiro, para a entrada ( r1 = 0.1,m):
U1 = 150.796 times 0.1 = 15.0796,m/s
E para a saída ( r2 = 0.175,m):
U2 = 150.796 times 0.175 = 26.3893,m/s

Passo 4

Com os ângulos das palhetas ( beta1 e beta2) e as velocidades tangenciais ( U1 e U2), podemos usar os triângulos de velocidade para encontrar as velocidades absolutas ( V1 e V2) e, por consequência, a vazão.
Os triângulos de velocidade relacionam a velocidade absoluta ( V), a velocidade relativa ( W) e a velocidade do fluido ( C) com os ângulos das palhetas. A relação básica é:
tan(beta) = WU
Resolvendo para W:
W = U times tan(beta)
Primeiro, para a entrada:
W1 = 15.0796 times tan(30^circ) = 15.0796 times 0.5774 approx 8.712,m/s
E para a saída:
W2 = 26.3893 times tan(20^circ) = 26.3893 times 0.3640 approx 9.610,m/s

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade do fluido ( C), usamos a relação:
C = W
Portanto:
C1 = 8.712,m/s e C2 = 9.610,m/s
Como estamos interessados na vazão no ponto de projeto, vamos considerar a velocidade do fluido na entrada ( C1) e a área da seção transversal nessa posição.

Passo 6

A vazão ( Q) é dada pela multiplicação da velocidade do fluido pela área da seção transversal ( A):
Q = C times A
A área da seção transversal na entrada pode ser calculada usando o raio r1:
A = pi r1^2 = pi times (0.1)^2 = 0.031416,m^2
Então, substituindo os valores:
Q = 8.712 times 0.031416 approx 0.2737,m^3/s

Resposta

A vazão no ponto de projeto é aproximadamente 0,274 m³/s.

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