São fornecidos os seguintes dados para uma bomba centrífuga comercial que opera com água: r1=100 mm, r2=175 mm, beta1=30^circ, beta2=20^circ, rotação =1440 rpm. Calcule: b) a potência hidráulica e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de bomba centrífuga juntos! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma bomba centrífuga que está operando com água e nos deram alguns dados:
  • mm (raio da pá na entrada)
  • mm (raio da pá na saída)
  • (ângulo de saída da pá na entrada)
  • (ângulo de saída da pá na saída)
  • Rotação = 1440 rpm (rotações por minuto)
Nos pedem para calcular a potência hidráulica da bomba. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de hidráulica e de como uma bomba centrífuga funciona. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potência hidráulica. Essa é a potência que a bomba transmite para a água, ou seja, a energia que está sendo transferida para mover a água. A fórmula geral para calcular a potência hidráulica ( Ph = rho cdot g cdot Q cdot H ) é:
Onde:
  • é a densidade da água (aproximadamente kg/m³),
  • é a aceleração da gravidade ( m/s²),
  • é a vazão (volume de água movido por unidade de tempo),
  • é a altura manométrica (a altura até onde a bomba consegue elevar a água).
Mas olha só: no nosso caso, não temos diretamente a vazão ou a altura . Então, precisamos encontrar esses valores usando os dados fornecidos sobre a bomba.

Passo 3

Para encontrar a altura manométrica ( H = V2^2 - V1^22g ), precisamos relacioná-la com a velocidade do fluido na bomba. A altura pode ser calculada usando a equação da energia para uma bomba centrífuga:
Onde:
  • é a velocidade do fluido na entrada da bomba,
  • é a velocidade do fluido na saída da bomba.
Para encontrar e , usamos os ângulos das pás e os raios fornecidos.

Passo 4

Vamos calcular as velocidades V = omega cdot r e omega = 2pi cdot N60 . A velocidade tangencial na entrada e na saída pode ser calculada pela fórmula:
omega = 2pi cdot 144060 = 150.8 rad/s
Onde:
  • r1 = 100 mm = 0.1 m é a velocidade angular em rad/s,
  • r2 = 175 mm = 0.175 m é o raio em metros.
Primeiro, vamos converter a rotação de rpm para rad/s:
V1 = omega cdot r1 = 150.8 cdot 0.1 = 15.08 m/s
Com V2 = omega cdot r2 = 150.8 cdot 0.175 = 26.39 m/s rpm:
Agora, convertendo os raios de mm para metros:
Calculando e :

Passo 5

Agora que temos H = V2^2 - V1^22g = (26.39)^2 - (15.08)^22 cdot 9.81 e (26.39)^2 = 696.59 , podemos calcular a altura manométrica (15.08)^2 = 227.40 :
H = 696.59 - 227.4019.62 = 469.1919.62 approx 23.90 m
Calculando os quadrados:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora que temos a altura manométrica Q = A cdot V , precisamos encontrar a vazão Ph = tau cdot omega . Para isso, podemos usar a relação geométrica da bomba centrífuga:
Ph = rho cdot g cdot Q cdot H
Onde é a área da seção transversal e é a velocidade média. Entretanto, sem a informação direta da área ou da geometria completa da bomba, podemos assumir uma simplificação ou que a vazão pode ser calculada a partir de outros parâmetros.
Neste caso, como estamos focando na potência hidráulica e não temos uma expressão direta para , vamos usar a relação entre torque e potência:
Onde é o torque da bomba. Mas, novamente, sem mais dados, essa abordagem não é direta. Portanto, outra maneira de proceder é considerar que, para bombas centrífugas, a potência hidráulica também pode ser relacionada aos parâmetros fornecidos pelas seguintes fórmulas de fluidos:
Mas para avançar, precisamos assumir ou calcular . Sem dados adicionais, vamos considerar que há uma relação direta entre os parâmetros fornecidos para encontrar . Porém, para simplificar e seguindo o foco na potência hidráulica, vamos usar a fórmula inicial com as informações que conseguimos até agora.

Passo 7

Voltando à fórmula da potência hidráulica:
Ph = rho cdot g cdot Q cdot H
Assumindo que a densidade da água Ph = rho cdot pi cdot r2^2 cdot V2 cdot g cdot H kg/m³ e m/s², e já temos m, precisamos encontrar .
Para determinar a vazão , precisamos de mais informações sobre a velocidade do fluido no escoamento ou sobre a área da seção transversal. No entanto, como não temos esses dados diretamente, vamos assumir uma relação simplificada usando a energia disponível na bomba para elevar a água à altura .
Podemos reescrever a potência hidráulica em termos de e :
Mas, sem complicar demais, vamos seguir com a fórmula básica e considerar que pode ser derivado de outras relações, que neste caso simplificaremos para fins didáticos.

Passo 8

Para finalizar, se considerarmos a vazão Q = A cdot V como sendo o produto da área e da velocidade média do fluido, e assumindo uma seção transversal média, podemos aproximar A = pi cdot r^2 usando:
rm = r1 + r22 = 0.1 + 0.1752 = 0.1375 m
Onde a área A = pi cdot (0.1375)^2 approx 0.0594 m^2 pode ser aproximada como:
Vm = V1 + V22 = 15.08 + 26.392 = 20.74 m/s
Supondo que o raio médio Q = A cdot Vm = 0.0594 cdot 20.74 approx 1.23 m^3/s seja a média entre e :
Calculando a área:
E a velocidade média é a média entre e :
Então, a vazão :

Passo 9

Agora que temos Ph = rho cdot g cdot Q cdot H = 1000 cdot 9.81 cdot 1.23 cdot 23.90 m³/s e 1000 cdot 9.81 = 9810 m, podemos calcular a potência hidráulica 9810 cdot 1.23 = 12048.3 :
12048.3 cdot 23.90 approx 288,000 W
Calculando passo a passo:
Ph approx 288 kW
Convertendo para kilowatts:

Resposta

A potência hidráulica da bomba é aproximadamente 288 kW.

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