Seção 7.4 - Integração de funções racionais por frações parciais: 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 35, 43, 47, 57.

Passo 1

Então, a gente tem que integrar uma função racional usando frações parciais. Isso significa que a função que vamos integrar é uma razão de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e depois integrar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função racional para trabalhar. Vamos considerar a integral de:
Aqui, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , porque e .
Então, podemos escrever:

Passo 4

Com o denominador fatorado, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 5

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, expandimos o lado direito da equação:

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
Para os termos com :
Para os termos constantes:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituímos na segunda equação:
Então,

Passo 9

Agora que temos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 10

Simplificamos as frações:

Passo 11

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 12

A gente sabe que a integral de é , então aplicamos isso a cada termo:

Passo 13

Juntando tudo, temos:

Resposta

A integral de é:

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