Então, a gente tem que integrar uma função racional usando frações parciais. Isso significa que a função que vamos integrar é uma razão de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e depois integrar cada uma delas separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função racional para trabalhar. Vamos considerar a integral de:
Aqui, o numerador é e o denominador é .
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , porque e .
Então, podemos escrever:
Passo 4
Com o denominador fatorado, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 5
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, expandimos o lado direito da equação:
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituímos na segunda equação:
Então,
Passo 9
Agora que temos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 10
Simplificamos as frações:
Passo 11
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 12
A gente sabe que a integral de é , então aplicamos isso a cada termo: