Considere as funções f, g e h definidas por f(x) = x^2 + x - 6, g(x) = e^x e h(x) = ln(x). Determine: os valores de x de modo que f(g(x)) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três funções:
A gente precisa encontrar os valores de que fazem com que . Basicamente, estamos trabalhando com composição de funções, onde a gente aplica uma função dentro da outra. Vamos precisar usar conhecimentos de funções quadráticas, exponenciais e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa que a gente vai substituir na função . Ou seja:
Então, a equação que precisamos resolver é:

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar. Sabemos que , então a equação fica:
Isso parece complicado, mas podemos fazer uma substituição para tornar mais simples. Vamos chamar . Assim, a equação fica:

Passo 4

Agora temos uma equação quadrática em . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Lembrando que e que sempre é positivo, a solução não é válida. Portanto, só consideramos .
Agora, voltando para :
Para resolver isso, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

Os valores de que satisfazem são:

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