Considere as funções
e
definidas por
e
. Determine: os valores de
de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três funções:
A gente precisa encontrar os valores de
que fazem com que
. Basicamente, estamos trabalhando com composição de funções, onde a gente aplica uma função dentro da outra. Vamos precisar usar conhecimentos de funções quadráticas, exponenciais e logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso significa que a gente vai substituir
na função
. Ou seja:
Então, a equação que precisamos resolver é:
Passo 3
Vamos simplificar a equação para facilitar. Sabemos que
, então a equação fica:
Isso parece complicado, mas podemos fazer uma substituição para tornar mais simples. Vamos chamar
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora temos uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 5
Lembrando que
e que
sempre é positivo, a solução
não é válida. Portanto, só consideramos
.
Agora, voltando para
:
Para resolver isso, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
Os valores de
que satisfazem
são: