Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada
usando derivação implícita na equação
. A matéria que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é útil quando temos
definido em termos de
de forma que não está fácil separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos
, precisamos usar a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
A equação original é:
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Vamos derivar cada lado separadamente.
Lado esquerdo:
Usamos a regra da cadeia para derivar :
Usamos a regra da cadeia para derivar
Lado direito:
Usamos a regra do produto para derivar :
Usamos a regra do produto para derivar
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 5
Vamos simplificar multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 7
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Resposta
A derivada
é: