Nos seguintes itens, calcule a derivada d/y d/x utilizando derivação implícita: raiz(x^4 + y^4) = 3 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada usando derivação implícita na equação . A matéria que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é útil quando temos y definido em termos de x de forma que não está fácil separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que quando derivamos y, precisamos usar a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de y em relação a x, que é .
A equação original é:
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Vamos derivar cada lado separadamente.
Lado esquerdo:
Usamos a regra da cadeia para derivar :
Lado direito:
Usamos a regra do produto para derivar :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 5

Vamos simplificar multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 7

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:

Resposta

A derivada é:

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