Nos seguintes itens, calcule a derivada utilizando derivação implícita:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada usando derivação implícita. Derivação implícita é quando y está misturado com x, e não está isolado. Então, vamos precisar derivar cada termo em relação a x, lembrando que y também é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
  1. Derivada de em relação a x é .
  2. Derivada de em relação a x: aqui temos um produto, então usamos a regra do produto.
    • Derivada de é , multiplicado por y: .
    • Mais multiplicado pela derivada de y, que é : .
    • Então, no total: .
  3. Derivada de em relação a x: novamente, produto.
    • Derivada de é , multiplicado por y: .
    • Mais multiplicado por : .
    • Então: .
  4. Derivada de em relação a x: usamos a regra da cadeia.
    • .
  5. Derivada de 9 em relação a x é 0.

Passo 3

Agora, vamos juntar todas as derivadas:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que têm e os que não têm:

Passo 5

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:

Resposta

A derivada é dada por:

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