Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada
usando derivação implícita. Derivação implícita é quando y está misturado com x, e não está isolado. Então, vamos precisar derivar cada termo em relação a x, lembrando que y também é uma função de x.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
- Derivada de
em relação a x é . - Derivada de
em relação a x: aqui temos um produto, então usamos a regra do produto. - Derivada de
é , multiplicado por y: . - Mais
multiplicado pela derivada de y, que é : . - Então, no total:
.
- Derivada de
- Derivada de
em relação a x: novamente, produto. - Derivada de
é , multiplicado por y: . - Mais
multiplicado por : . - Então:
.
- Derivada de
- Derivada de
em relação a x: usamos a regra da cadeia. -
.
-
- Derivada de 9 em relação a x é 0.
Passo 3
Agora, vamos juntar todas as derivadas:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que têm
e os que não têm:
Passo 5
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:
Resposta
A derivada
é dada por:
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