A seguir estão dados sobre a renda total e os gastos com alimentação, em reais, num mês escolhido ao acaso, de 18 determinadas famílias de uma grande cidade brasileira. Supõe-se que o valor gasto pela família i em alimentação, Ai, pode ser expresso por Ai=alpha+beta cdot Ri+varepsiloni, onde Ri é a renda da família i e os varepsiloni
i Ri Ai
1 4.000 1.220
2 8.000 1.860
3 10.000 2.440
4 3.000 630
5 2.000 590
6 5.000 910
i Ri Ai
—: —: —:
7 10.000 2.370
8 3.500 990
9 6.000 1.760
10 3.000 960
11 2.500 610
12 20.000 4.640
i Ri Ai
:—: —: —:
13 2.500 970
14 15.000 3.440
15 4.500 1.130
16 4.000 1.080
17 4.000 780
18 5.000 920
a) Obtenha as estimativas de mínimos quadrados de alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dados sobre a renda total ( Ri) e os gastos com alimentação ( Ai) de 18 famílias. Nosso objetivo é encontrar as estimativas dos parâmetros alpha e beta na equação Ai = alpha + beta cdot Ri + varepsiloni. Isso envolve usar o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a ajustar uma linha que melhor representa a relação entre renda e gastos com alimentação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Essencialmente, ele encontra os valores de alpha e beta que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( Ai) e os valores previstos pela nossa equação linear. A fórmula para beta é:
beta = nsum Ri Ai - sum Ri sum Ainsum Ri^2 - (sum Ri)^2
E para alpha:
alpha = barA - beta cdot barR
Onde:
  • n é o número de famílias (18 no caso).
  • sum representa a soma sobre todas as famílias.
  • barA e barR são as médias de Ai e Ri, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular os valores que precisamos:
  1. Somatório de Ri ( sum Ri):
    Somamos todas as rendas das 18 famílias.
  2. Somatório de Ai ( sum Ai):
    Somamos todos os gastos com alimentação das 18 famílias.
  3. Somatório de Ri Ai ( sum Ri Ai):
    Para cada família, multiplicamos Ri por Ai e somamos todos esses produtos.
  4. Somatório de Ri^2 ( sum Ri^2):
    Elevamos cada renda ao quadrado e somamos todos esses valores.

Passo 4

Vamos aos cálculos:
Família ( i) Ri (Renda) Ai (Gastos) Ri cdot Ai Ri^2
1 4000 1220 4,000 × 1,220 = 4,880,000 4,000² = 16,000,000
2 8000 1860 8,000 × 1,860 = 14,880,000 8,000² = 64,000,000
3 10,000 2440 10,000 × 2,440 = 24,400,000 10,000² = 100,000,000
4 3,000 630 3,000 × 630 = 1,890,000 3,000² = 9,000,000
5 2,000 590 2,000 × 590 = 1,180,000 2,000² = 4,000,000
6 5,000 910 5,000 × 910 = 4,550,000 5,000² = 25,000,000
7 10,000 2370 10,000 × 2,370 = 23,700,000 10,000² = 100,000,000
8 3,500 990 3,500 × 990 = 3,465,000 3,500² = 12,250,000
9 6,000 1760 6,000 × 1,760 = 10,560,000 6,000² = 36,000,000
10 3,000 960 3,000 × 960 = 2,880,000 3,000² = 9,000,000
11 2,500 610 2,500 × 610 = 1,525,000 2,500² = 6,250,000
12 20,000 4,640 20,000 × 4,640 = 92,800,000 20,000² = 400,000,000
13 2,500 970 2,500 × 970 = 2,425,000 2,500² = 6,250,000
14 15,000 3,440 15,000 × 3,440 = 51,600,000 15,000² = 225,000,000
15 4,500 1,130 4,500 × 1,130 = 5,085,000 4,500² = 20,250,000
16 4,000 1,080 4,000 × 1,080 = 4,320,000 4,000² = 16,000,000
17 4,000 780 4,000 × 780 = 3,120,000 4,000² = 16,000,000
18 5,000 920 5,000 × 920 = 4,600,000 5,000² = 25,000,000
Total 98,000 29,440 232,755,000 951,750,000

Passo 5

Agora que temos os totais, vamos substituir na fórmula para encontrar beta:
beta = nsum Ri Ai - sum Ri sum Ainsum Ri^2 - (sum Ri)^2
Substituindo os valores:
beta = 18 times 232,755,000 - 98,000 times 29,44018 times 951,750,000 - (98,000)^2
Primeiro, calculamos o numerador:
18 times 232,755,000 = 4,690,590,000
98,000 times 29,440 = 2,883,200,000
Então:
Numerador = 4,690,590,000 - 2,883,200,000 = 1,807,390,000
Agora, o denominador:
18 times 951,750,000 = 17,131,500,000
(98,000)^2 = 9,604,000,000
Então:
Denominador = 17,131,500,000 - 9,604,000,000 = 7,527,500,000
Agora, dividimos numerador por denominador:
beta = 1,807,390,0007,527,500,000 approx 0,24

Passo 6

Agora que temos beta approx 0,24, vamos encontrar alpha usando a fórmula:
alpha = barA - beta cdot barR
Primeiro, calculamos as médias:
barA = sum Ain = 29,44018 approx 1,635,56
barR = sum Rin = 98,00018 approx 5,444,44
Substituindo na fórmula de alpha:
alpha = 1,635.56 - 0,24 times 5,444.44
alpha = 1,635.56 - 1,306.67 approx 328,89

Resposta

As estimativas de mínimos quadrados são alpha approx 328,89 e beta approx 0,24.

Exercícios relacionados