Seleciona-se, ao acaso, um ponto do quadrado unitário
1}. Sejam
e
as coordenadas do ponto selecionado.
Calcule
Calcule
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um quadrado unitário $ Q = {(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} $. Isso significa que estamos trabalhando com pontos onde as coordenadas $ x $ e $ y $ vão de 0 a 1. O exercício quer que calculemos a probabilidade de que a expressão $ \left|\frac{Y}{X} - 1\right| $ seja menor ou igual a $ \frac{1}{2} $. Isso envolve conceitos de probabilidade geométrica, onde vamos determinar a área de uma região específica dentro do quadrado unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \left|\frac{Y}{X} - 1\right| \leq \frac{1}{2} $. Vamos resolver essa desigualdade:
Isso quer dizer que a expressão $ \frac{Y}{X} - 1 $ está entre $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos adicionar 1 em todas as partes da desigualdade para isolar $ \frac{Y}{X} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, podemos multiplicar todos os termos por $ X $ (lembrando que $ X > 0 $ dentro do quadrado unitário, então a desigualdade não muda de sentido):
Isso nos dá duas retas dentro do quadrado: $ Y = \frac{1}{2}X $ e $ Y = \frac{3}{2}X $. A região que nos interessa é onde $ Y $ está entre essas duas retas.
Passo 5
Vamos visualizar o quadrado unitário e desenhar as retas $ Y = \frac{1}{2}X $ e $ Y = \frac{3}{2}X $:
- A reta $ Y = \frac{1}{2}X $ passa pela origem (0,0) e atinge o ponto (1, 0.5).
- A reta $ Y = \frac{3}{2}X $ também passa pela origem, mas atinge o ponto (1, 1.5). No entanto, como nosso quadrado vai até $ Y = 1 $, essa reta será cortada em $ Y = 1 $, o que acontece quando $ X = \frac{2}{3} $.
Passo 6
Então, a região que satisfaz $ \frac{1}{2}X \leq Y \leq \frac{3}{2}X $ dentro do quadrado unitário é formada por duas partes:
- Para $ 0 \leq X \leq \frac{2}{3} $: Ambas as retas estão dentro do quadrado, então a área entre elas pode ser calculada diretamente.
- Para $ \frac{2}{3} < X \leq 1 $: A reta $ Y = \frac{3}{2}X $ ultrapassa o limite superior do quadrado, então a região é limitada por $ Y = 1 $.
Passo 7
Vamos calcular a área dessa região em duas partes:
- Primeira parte ($ 0 \leq X \leq \frac{2}{3} $):
A diferença entre as duas retas é:
Então, a área é:
- Segunda parte ($ \frac{2}{3} < X \leq 1 $):
Aqui, a parte superior é $ Y = 1 $, então a diferença é:
A área é:
Passo 8
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total que satisfaz a condição:
Resposta
A probabilidade $ P\left(\left|\frac{Y}{X} - 1\right| \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{5}{12} $.