O vetor aleatório ( X, Y ) possui função distribuição conjunta FX, Y(x, y).
Mostre que FX(x)+FY(y)-1 <= FX, Y(x, y) <= raizFX(x) FY(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória conjunta (X, Y) com função de distribuição conjunta FX, Y(x, y). A gente precisa mostrar duas desigualdades envolvendo as funções de distribuição marginais FX(x) e FY(y). Basicamente, queremos provar que:
FX(x) + FY(y) - 1 <= FX, Y(x, y) <= raizFX(x) FY(y)
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as funções de distribuição marginais e conjuntas, e como elas se relacionam. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções:
  • Função de Distribuição Conjunta FX, Y(x, y): É a probabilidade de que X <= x e Y <= y simultaneamente.
    FX, Y(x, y) = P(X <= x e Y <= y)
  • Funções de Distribuição Marginais FX(x) e FY(y): São as probabilidades de X <= x e Y <= y individualmente.
    FX(x) = P(X <= x) e FY(y) = P(Y <= y)
Agora, vamos começar a provar a primeira desigualdade: FX(x) + FY(y) - 1 <= FX, Y(x, y).

Passo 3

Vamos provar que FX(x) + FY(y) - 1 <= FX, Y(x, y).
Pense que FX(x) é a probabilidade de X <= x e FY(y) é a probabilidade de Y <= y. Se somarmos essas duas probabilidades, estamos contando a probabilidade de ambos os eventos acontecerem, mas também contando duas vezes a interseção onde ambos ocorrem. Para ajustar isso, usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Rearranjando para P(A cap B):
P(A cap B) = P(A) + P(B) - P(A cup B)
Aplicando isso às nossas variáveis:
FX, Y(x, y) = P(X <= x e Y <= y) = FX(x) + FY(y) - P(X > x ou Y > y)
Como P(X > x ou Y > y) <= 1, temos:
FX, Y(x, y) >= FX(x) + FY(y) - 1
Então, a primeira desigualdade está provada!

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: FX, Y(x, y) <= raizFX(x) FY(y).
Para provar essa desigualdade, podemos usar uma técnica conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada às probabilidades.
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que para quaisquer variáveis aleatórias A e B:
P(A e B) <= raizP(A) P(B)
Aplicando isso ao nosso caso, onde A é X <= x e B é Y <= y:
FX, Y(x, y) = P(X <= x e Y <= y) <= raizP(X <= x) P(Y <= y) = raizFX(x) FY(y)
Assim, mostramos que FX, Y(x, y) é menor ou igual a raizFX(x) FY(y).

Resposta

Portanto, mostramos que:
FX(x) + FY(y) - 1 <= FX, Y(x, y) <= raizFX(x) FY(y)

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