O vetor aleatório (
) possui função distribuição conjunta
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória conjunta
com função de distribuição conjunta
. A gente precisa mostrar duas desigualdades envolvendo as funções de distribuição marginais
e
. Basicamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as funções de distribuição marginais e conjuntas, e como elas se relacionam. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções:
-
Função de Distribuição Conjunta
: É a probabilidade de que e simultaneamente. -
Funções de Distribuição Marginais
e : São as probabilidades de e individualmente.
Agora, vamos começar a provar a primeira desigualdade:
.
Passo 3
Vamos provar que
.
Pense que
é a probabilidade de
e
é a probabilidade de
. Se somarmos essas duas probabilidades, estamos contando a probabilidade de ambos os eventos acontecerem, mas também contando duas vezes a interseção onde ambos ocorrem. Para ajustar isso, usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
Rearranjando para
:
Aplicando isso às nossas variáveis:
Como
, temos:
Então, a primeira desigualdade está provada!
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Para provar essa desigualdade, podemos usar uma técnica conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada às probabilidades.
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que para quaisquer variáveis aleatórias
e
:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
é
e
é
:
Assim, mostramos que
é menor ou igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que: