A seguir, temos a distribuição de frequência dos pesos de uma amostra de 45 alunos:
Peso em Kg
de alunos
4
10
15
8
5
3
b. Determine a variância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre variância usando a distribuição de frequência dos pesos dos alunos. A variância é uma medida que nos mostra o quão dispersos os valores estão em relação à média. Para calcular a variância, vamos precisar dos seguintes passos:
Encontrar o ponto médio de cada intervalo de peso.
Calcular a média dos pesos.
Calcular as diferenças de cada ponto médio em relação à média, elevar ao quadrado e multiplicar pela frequência correspondente.
Somar todos esses valores e dividir pelo total de alunos para obter a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o ponto médio de cada intervalo de peso. O ponto médio é a média entre o limite inferior e superior de cada classe. Isso nos ajuda a representar cada intervalo com um único valor.
Vamos calcular:
Calculando para cada intervalo:
40-45 Kg: Kg
45-50 Kg: Kg
50-55 Kg: Kg
55-60 Kg: Kg
60-65 Kg: Kg
65-70 Kg: Kg
Passo 3
Agora, vamos calcular a média dos pesos. Para isso, multiplicamos cada ponto médio pela sua respectiva frequência, somamos todos esses valores e dividimos pelo total de alunos.
A fórmula da média () é:
170 + 475 + 787,5 + 460 + 312,5 + 202,5 = 2.407,5
Onde:
x = 2.407,545 approx 53,5 Kg = frequência de cada intervalo
= ponto médio de cada intervalo
= total de alunos
Vamos calcular cada :
Somando todos:
Agora, dividimos pelo total de alunos (45):
Passo 4
Com a média calculada, vamos determinar a variância. A fórmula para a variância ( sigma^2 = sum (f times (x - x)^2)N ) é:
(42,5 - 53,5)^2 = (-11)^2 = 121
Vamos calcular cada f times (x - x)^2 = 4 times 121 = 484 e depois multiplicar pela frequência:
Para 42,5 Kg:
(47,5 - 53,5)^2 = (-6)^2 = 36
10 times 36 = 360
Para 47,5 Kg:
(52,5 - 53,5)^2 = (-1)^2 = 1
15 times 1 = 15
Para 52,5 Kg:
(57,5 - 53,5)^2 = 4^2 = 16
8 times 16 = 128
Para 57,5 Kg:
(62,5 - 53,5)^2 = 9^2 = 81
5 times 81 = 405
Para 62,5 Kg:
(67,5 - 53,5)^2 = 14^2 = 196
3 times 196 = 588
Para 67,5 Kg:
484 + 360 + 15 + 128 + 405 + 588 = 1.980
Agora, somamos todos esses valores:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a variância, dividimos a soma obtida pelo total de alunos:
sigma^2 = 1.98045 approx 44
Resposta
A variância dos pesos dos alunos é aproximadamente 44 kg².