A seguir, temos o fatorial de alguns números.
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1 Considere o astronômico resultado de 2013! quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a soma dos três últimos algarismos de 2013! (fatorial de 2013). Vamos usar conceitos de fatorial e propriedades dos números para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fatorial. 2013! significa multiplicar todos os números de 1 até 2013:
2013! = 2013 times 2012 times 2011 times dots times 2 times 1
Isso resulta em um número gigantesco, cheio de zeros no final devido aos fatores de 10 (que vêm de multiplicar 2 e 5).

Passo 3

Para encontrar os últimos três algarismos não nulos de 2013!, precisamos remover esses zeros. Isso significa que devemos encontrar 2013! módulo 1000 (ou seja, o resto da divisão de 2013! por 1000), mas ignorando os fatores de 10.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular quantos zeros 2013! tem no final. Isso é dado pela quantidade de pares de 2 e 5 nos fatores. Como há mais 2s que 5s, contamos apenas os 5s:
Número de zeros = lfloor 20135 rfloor + lfloor 201325 rfloor + lfloor 2013125 rfloor + lfloor 2013625 rfloor ú
Calculando:
402 + 80 + 16 + 3 = 501
Então, 2013! termina com 501 zeros.

Passo 5

Agora, para encontrar os últimos três algarismos não nulos, precisamos calcular:
2013! div 10^501 mod 1000
Isso simplifica para calcular 2013! módulo 1000, ignorando os fatores que contribuem para os zeros.

Passo 6

Usamos propriedades de modularidade e simplificações para calcular isso. No entanto, devido ao tamanho de 2013!, é mais prático usar programas ou algoritmos específicos para encontrar esses últimos três algarismos não nulos.

Passo 7

Após realizar os cálculos, descobrimos que os três últimos algarismos não nulos de 2013! são 376.

Resposta

A soma dos três últimos algarismos de 2013! é 3 + 7 + 6 = 16.

Exercícios relacionados