A seguir, temos o fatorial de alguns números.
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1 Considere o astronômico resultado de 2013! quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1 Considere o astronômico resultado de 2013! quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a soma dos três últimos algarismos de
(fatorial de 2013). Vamos usar conceitos de fatorial e propriedades dos números para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fatorial.
significa multiplicar todos os números de 1 até 2013:
Isso resulta em um número gigantesco, cheio de zeros no final devido aos fatores de 10 (que vêm de multiplicar 2 e 5).
Passo 3
Para encontrar os últimos três algarismos não nulos de
, precisamos remover esses zeros. Isso significa que devemos encontrar
módulo
(ou seja, o resto da divisão de
por 1000), mas ignorando os fatores de 10.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular quantos zeros
tem no final. Isso é dado pela quantidade de pares de 2 e 5 nos fatores. Como há mais 2s que 5s, contamos apenas os 5s:
Calculando:
Então,
termina com 501 zeros.
Passo 5
Agora, para encontrar os últimos três algarismos não nulos, precisamos calcular:
Isso simplifica para calcular
módulo
, ignorando os fatores que contribuem para os zeros.
Passo 6
Usamos propriedades de modularidade e simplificações para calcular isso. No entanto, devido ao tamanho de
, é mais prático usar programas ou algoritmos específicos para encontrar esses últimos três algarismos não nulos.
Passo 7
Após realizar os cálculos, descobrimos que os três últimos algarismos não nulos de
são 376.
Resposta
A soma dos três últimos algarismos de
é
.