Qual a derivada de x.e^x?

Passo 1

Vamos resolver a derivada de $ x \cdot e^x $. Isso envolve a matéria de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é utilizada quando queremos derivar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Aqui, temos:
  • $ f(x) = x $
  • $ g(x) = e^x $

Passo 3

A Regra do Produto diz que a derivada de $ f(x)g(x) $ é igual a $ f’(x)g(x) + f(x)g’(x) $. Ou seja:
f(x)g(x)
Vamos calcular cada uma dessas partes.

Passo 4

Calculamos a derivada de $ f(x) = x $. Sabemos que a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é:
f(x) = x

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de $ g(x) = e^x $. A função exponencial $ e^x $ tem a propriedade especial de que sua própria derivada é ela mesma:
g(x) = e^x

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto, substituímos as derivadas que encontramos:
(fg)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1 cdot e^x + x cdot e^x

Passo 7

Podemos simplificar a expressão combinando os termos semelhantes:
1 cdot e^x + x cdot e^x = e^x (1 + x)

Resposta

A derivada de $ x \cdot e^x $ é $ e^x (1 + x) $.

Exercícios relacionados