Qual a derivada de x.e^x?
Passo 1
Vamos resolver a derivada de $ x \cdot e^x $. Isso envolve a matéria de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é utilizada quando queremos derivar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Aqui, temos:
- $ f(x) = x $
- $ g(x) = e^x $
Passo 3
A Regra do Produto diz que a derivada de $ f(x)g(x) $ é igual a $ f’(x)g(x) + f(x)g’(x) $. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas partes.
Passo 4
Calculamos a derivada de $ f(x) = x $. Sabemos que a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de $ g(x) = e^x $. A função exponencial $ e^x $ tem a propriedade especial de que sua própria derivada é ela mesma:
Passo 6
Aplicando a Regra do Produto, substituímos as derivadas que encontramos:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão combinando os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de $ x \cdot e^x $ é $ e^x (1 + x) $.