Segundo a Geometria Analítica, dois planos podem se cruzar em uma reta desde que o produto escalar entre respectivos vetores normais seja não-nulo. Sejam os planos π₁: x - y - z - 4 = 0, π₂: z = 4 e π₃: x - 3 = 0, sabendo que as normais podem ser escritas como n₁ = (1, -1, -1), n₂ = (0, 0, 1) e n₃ = (1, 0, 0), podemos afirmar que:
I) Os planos π₁ e π₂ são paralelos.
II) Os planos π₂ e π₃ são ortogonais.
III) Os três planos se encontram no ponto P = (3, -5, 4).
I) Os planos π₁ e π₂ são paralelos.
II) Os planos π₂ e π₃ são ortogonais.
III) Os três planos se encontram no ponto P = (3, -5, 4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Geometria Analítica e pede para a gente analisar três afirmações sobre planos no espaço. Temos três planos dados pelas equações:
- π₁: $ x - y - z - 4 = 0 $ com vetor normal $ \mathbf{n}_1 = (1, -1, -1) $
- π₂: $ z = 4 $ com vetor normal $ \mathbf{n}_2 = (0, 0, 1) $
- π₃: $ x - 3 = 0 $ com vetor normal $ \mathbf{n}_3 = (1, 0, 0) $
Vamos usar conceitos de vetores normais e produto escalar para verificar se as afirmações I, II e III são verdadeiras.
Passo 2
Vamos analisar a primeira afirmação:
I) Os planos π₁ e π₂ são paralelos.
Para verificar se dois planos são paralelos, precisamos ver se os vetores normais são múltiplos um do outro. Se $ \mathbf{n}_1 $ e $ \mathbf{n}_2 $ forem proporcionais, os planos são paralelos.
Aqui, temos:
- $ \mathbf{n}_1 = (1, -1, -1) $
- $ \mathbf{n}_2 = (0, 0, 1) $
Não há um número que multiplique todos os componentes de $ \mathbf{n}_1 $ para chegar em $ \mathbf{n}_2 $. Portanto, os planos não são paralelos.
Passo 3
Agora, a segunda afirmação:
II) Os planos π₂ e π₃ são ortogonais.
Dois planos são ortogonais se o produto escalar de seus vetores normais for zero. O produto escalar de $ \mathbf{n}_2 $ e $ \mathbf{n}_3 $ é:
Como o produto escalar deu zero, os planos π₂ e π₃ são ortogonais.
Passo 4
Por fim, a terceira afirmação:
III) Os três planos se encontram no ponto P = (3, -5, 4).
Para verificar isso, vamos substituir as coordenadas de P nas equações dos três planos.
- Para π₁: $ x - y - z - 4 = 3 - (-5) - 4 - 4 = 3 + 5 - 4 - 4 = 0 $ ✔️
- Para π₂: $ z = 4 $ → $ z = 4 $ ✔️
- Para π₃: $ x - 3 = 3 - 3 = 0 $ ✔️
Como o ponto P satisfaz todas as três equações, os três planos realmente se encontram no ponto P = (3, -5, 4).
Resposta
As afirmações II e III são verdadeiras.