Sobre a notação do Teorema de Green para integrais de linha ao longo de curvas fechadas simples, é verdadeiro afirmar:
I- É prática comum denotar a integral de linha, ao longo de uma curva fechada simples, por um sinal de integral com círculo sobreposto.
II- A expressão do Teorema de Green é:.
III- Muitas vezes, é mais fácil calcular a integral de linha, usando o Teorema de Green, entretanto, algumas vezes, a operação é mais simples na direção oposta. Uma aplicação na direção oposta ao Teorema de Green é para calcular áreas. Estão corretas:
a. Apenas II e III
b. Todas
c. Apenas III
d. Apenas I e II
e. Apenas I e III

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um exercício sobre o Teorema de Green, que é uma ferramenta importante no cálculo de integrais de linha ao longo de curvas fechadas simples. Precisamos verificar a veracidade de três afirmações relacionadas a esse teorema e escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada afirmação uma por uma.
Afirmação I: “É prática comum denotar a integral de linha, ao longo de uma curva fechada simples, por um sinal de integral com círculo sobreposto.”
Essa afirmação está falando sobre a notação usada para integrais de linha sobre curvas fechadas. De fato, é comum usar um círculo pequeno acima do símbolo de integral para indicar que a curva é fechada. Então, a Afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “A expressão do Teorema de Green é:.”
Aqui, parece que a afirmação deveria incluir a expressão do Teorema de Green, mas está incompleta. Sem a expressão específica, não podemos confirmar sua veracidade. Portanto, a Afirmação II não pode ser considerada verdadeira com as informações fornecidas.

Passo 4

Afirmação III: “Muitas vezes, é mais fácil calcular a integral de linha, usando o Teorema de Green, entretanto, algumas vezes, a operação é mais simples na direção oposta. Uma aplicação na direção oposta ao Teorema de Green é para calcular áreas.”
O Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas e, de fato, pode ser usado para calcular áreas de regiões. Às vezes, calcular a integral de linha diretamente pode ser mais complicado, e usar o teorema para converter em uma integral dupla facilita o cálculo. Portanto, a Afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Agora, vamos ver quais afirmações estão corretas:
  • Apenas I e III são verdadeiras.
  • As outras combinações incluem a afirmação II, que não podemos confirmar como verdadeira.

Resposta

e. Apenas I e III

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