Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A pergunta fala sobre propriedades dos conjuntos numéricos, como os números inteiros, racionais e irracionais. Precisamos analisar cada alternativa para ver qual está correta com base no que sabemos sobre esses números.
Passo 2
Vamos começar com a alternativa A: “O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.” Isso significa que se a gente multiplicar dois números que não são racionais (irracionais), o resultado também seria irracional. Mas pera aí, nem sempre é assim. Por exemplo, √2 é irracional e √2 × √2 = 2, que é racional. Então essa alternativa está errada.
Passo 3
Agora, a alternativa B: “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.” De novo, isso não é verdade em todos os casos. Pense em √2 e -√2. Ambos são irracionais, mas √2 + (-√2) = 0, que é racional. Portanto, essa alternativa também está errada.
Passo 4
Vamos para a alternativa C: “Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.” Isso sugere que há somente um número irracional entre 3 e 4. Mas não é assim. Na verdade, há infinitos números irracionais entre quaisquer dois números reais. Então essa alternativa está incorreta.
Passo 5
A alternativa D diz: “Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.” Aqui, estamos falando de dois números que podem ser escritos como frações (racionais) e afirmando que entre eles sempre há outro número também racional. Isso é verdade porque os racionais são densos na reta real, ou seja, entre dois racionais sempre encontramos outro racional. Por exemplo, entre 1/2 e 1/3, temos 5/12.
Passo 6
Por fim, a alternativa E: “A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.” Vamos pensar. Se subtrairmos dois inteiros negativos, o resultado pode ser positivo ou negativo. Por exemplo, (-2) - (-5) = 3, que é positivo. Então, essa afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
A alternativa D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional é a correta.