Jaime possui um cofre para guardar documentos. Sua senha de 4 dígitos é registrada em um painel numérico eletrônico. Com base nisso, responda às perguntas.
a) Quantas possibilidades há para que Jaime escolha uma senha?
b) Qual a probabilidade de alguém, de modo aleatório, descobrir a senha de Jaime, se ele usar repetições de dígitos?
c) Caso Jaime decida não repetir números, quantas possibilidades de senha ele tem?
d) Qual a probabilidade de alguém, de modo aleatório, descobrir a senha de Jaime, se ele não usar repetições de dígitos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cofre com senha de 4 dígitos que o Jaime usa para guardar documentos. A gente vai trabalhar com conceitos de probabilidade e combinatória para descobrir quantas combinações são possíveis e qual a chance de alguém adivinhar a senha, tanto com dígitos que podem se repetir quanto sem repetição. Vamos precisar entender como calcular combinações com e sem repetição e usar esses valores para achar as probabilidades.

Passo 2

a) Quantas possibilidades há para que Jaime escolha uma senha?
Como a senha tem 4 dígitos e os dígitos podem se repetir, cada posição pode variar de 0 a 9. Isso significa que para cada um dos 4 dígitos, temos 10 opções.
A quantidade total de possibilidades é dada por:
10 times 10 times 10 times 10 = 10^4 = 10,000

Passo 3

b) Qual a probabilidade de alguém, de modo aleatório, descobrir a senha de Jaime, se ele usar repetições de dígitos?
A probabilidade de adivinhar a senha é o número de casos favoráveis (1, que é a senha correta) dividido pelo número total de possibilidades.
Então:
Probabilidade = 110,000
Isso pode ser expresso também como 0,01%.

Passo 4

c) Caso Jaime decida não repetir números, quantas possibilidades de senha ele tem?
Aqui, como os dígitos não podem se repetir, cada posição terá menos opções à medida que escolhemos os dígitos anteriores.
  • Primeiro dígito: 10 opções (0 a 9)
  • Segundo dígito: 9 opções (já usou um)
  • Terceiro dígito: 8 opções
  • Quarto dígito: 7 opções
A quantidade total de possibilidades é:
10 times 9 times 8 times 7 = 5,040

Passo 5

d) Qual a probabilidade de alguém, de modo aleatório, descobrir a senha de Jaime, se ele não usar repetições de dígitos?
Novamente, a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de possibilidades.
Então:
Probabilidade = 15,040
Isso dá aproximadamente 0,0198%.

Resposta

a) 10 000 possibilidades;
b) Probabilidade de 0,01%;
c) 5 040 possibilidades;
d) Probabilidade de aproximadamente 0,0198%.

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