(Segundo Princípio de Indução) Seja
um conjunto com a seguinte propriedade: dado
, se
contém todos os números naturais
tais que
, então
. Nestas condições,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é um subconjunto dos números naturais
. A propriedade que
tem é a seguinte: se para um número qualquer
em
, o conjunto
já contém todos os números menores que
(ou seja, todos os
com
), então ele também contém o próprio
. O que precisamos mostrar é que, com essa propriedade, o conjunto
na verdade inclui todos os números naturais, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar o Segundo Princípio da Indução Matemática, também conhecido como indução forte. Esse método é útil quando a verificação para um passo depende de todos os passos anteriores, e não apenas do passo imediatamente anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Segundo Princípio da Indução. Basicamente, ele diz que para provar que uma propriedade vale para todos os números naturais, a gente:
- Mostra que a propriedade é verdadeira para o primeiro número natural, geralmente o 0 ou o 1.
- Assume que a propriedade é verdadeira para todos os números at�� um certo número
. - Mostra que, com essa suposição, a propriedade também é verdadeira para
.
Se conseguirmos fazer isso, então a propriedade vale para todo número natural.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, queremos provar que todo número natural está em
. Vamos seguir os passos da indução:
-
Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se o menor número natural está em
. Geralmente, consideramos 0 ou 1 como o primeiro número natural. Vamos supor que seja 0. - Verificação: Se nenhum número menor que 0 existe em
, então a condição de que contém todos os números menores que 0 é trivialmente verdadeira. Logo, pela propriedade dada, .
- Verificação: Se nenhum número menor que 0 existe em
-
Passo Indutivo: Agora, vamos assumir que todos os números naturais até
estão em . Ou seja, . -
Objetivo: Mostrar que
também está em . -
Aplicação da Propriedade: Segundo a propriedade dada no problema, se
contém todos os números menores que , então está em . Mas, pela nossa hipótese de indução, já sabemos que todos os números até estão em . Portanto, .
-
Passo 4
Com isso, completamos os requisitos do Segundo Princípio da Indução:
- Base da Indução foi satisfeita, já que
. - Passo Indutivo foi demonstrado, garantindo que se todos os números até
estão em , então também está.
Portanto, seguindo esses passos, concluímos que todos os números naturais estão em
.
Resposta
Com base no Segundo Princípio da Indução, concluímos que
, ou seja, o conjunto
inclui todos os números naturais.
Exercícios relacionados
Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
Dado o sistema linear homogêneo
. Sabendo que C é uma matriz quadrada tal que
, classifique o sistema como SPD, SPI ou SI. Justifique sua resposta.
Prove que se
e
, então
.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;