(Segundo Princípio de Indução) Seja X subseteq N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n in N, se X contém todos os números naturais m tais que m, então n in X. Nestas condições, X=N.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é um subconjunto dos números naturais . A propriedade que tem é a seguinte: se para um número qualquer em , o conjunto já contém todos os números menores que (ou seja, todos os com ), então ele também contém o próprio . O que precisamos mostrar é que, com essa propriedade, o conjunto na verdade inclui todos os números naturais, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar o Segundo Princípio da Indução Matemática, também conhecido como indução forte. Esse método é útil quando a verificação para um passo depende de todos os passos anteriores, e não apenas do passo imediatamente anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Segundo Princípio da Indução. Basicamente, ele diz que para provar que uma propriedade vale para todos os números naturais, a gente:
  1. Mostra que a propriedade é verdadeira para o primeiro número natural, geralmente o 0 ou o 1.
  2. Assume que a propriedade é verdadeira para todos os números at�� um certo número .
  3. Mostra que, com essa suposição, a propriedade também é verdadeira para .
Se conseguirmos fazer isso, então a propriedade vale para todo número natural.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, queremos provar que todo número natural está em . Vamos seguir os passos da indução:
  1. Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se o menor número natural está em . Geralmente, consideramos 0 ou 1 como o primeiro número natural. Vamos supor que seja 0.
    • Verificação: Se nenhum número menor que 0 existe em , então a condição de que contém todos os números menores que 0 é trivialmente verdadeira. Logo, pela propriedade dada, .
  2. Passo Indutivo: Agora, vamos assumir que todos os números naturais até estão em . Ou seja, .
    • Objetivo: Mostrar que também está em .
    • Aplicação da Propriedade: Segundo a propriedade dada no problema, se contém todos os números menores que , então está em . Mas, pela nossa hipótese de indução, já sabemos que todos os números até estão em . Portanto, .

Passo 4

Com isso, completamos os requisitos do Segundo Princípio da Indução:
  • Base da Indução foi satisfeita, já que .
  • Passo Indutivo foi demonstrado, garantindo que se todos os números até estão em , então também está.
Portanto, seguindo esses passos, concluímos que todos os números naturais estão em .

Resposta

Com base no Segundo Princípio da Indução, concluímos que , ou seja, o conjunto inclui todos os números naturais.

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Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
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2 x+3 y+3 z=b
x-3 y+2 z=c
Dado o sistema linear homogêneo C X=0. Sabendo que C é uma matriz quadrada tal que C^2=I, classifique o sistema como SPD, SPI ou SI. Justifique sua resposta.
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2(1+2+ldots+n)=n(n+1);