Prove que se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, se
e
são números naturais e satisfazem
, então
. Vamos usar álgebra básica e manipulação de desigualdades para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir os dois lados da desigualdade que queremos provar. Isso significa multiplicar os termos dentro dos parênteses.
Passo 3
Expandindo
:
Explicação: Usamos a fórmula
.
Passo 4
Agora, expandindo
:
Explicação: Primeiro, aplicamos a mesma fórmula de expansão e depois multiplicamos cada termo por 2.
Passo 5
Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Agora, subtraímos
de
:
Passo 6
A gente quer provar que
. Pelo que acabamos de calcular:
Então, para que
, precisamos que:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a desigualdade:
Isso é exatamente o que foi dado no enunciado:
. Portanto, a condição necessária para que a desigualdade que queremos provar seja verdadeira já está satisfeita.
Resposta
Assim, mostramos que se
e
, então
.
Exercícios relacionados
(Segundo Princípio de Indução) Seja
um conjunto com a seguinte propriedade: dado
, se
contém todos os números naturais
tais que
, então
. Nestas condições,
.
Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.