Prove que se m, n in N e m^2<2 n^2, então (m+2 n)^2>2(m+n)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, se e são números naturais e satisfazem , então . Vamos usar álgebra básica e manipulação de desigualdades para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os dois lados da desigualdade que queremos provar. Isso significa multiplicar os termos dentro dos parênteses.

Passo 3

Expandindo (m + 2n)^2 = m^2 + 4mn + 4n^2 :
Explicação: Usamos a fórmula .

Passo 4

Agora, expandindo 2(m + n)^2 = 2(m^2 + 2mn + n^2) = 2m^2 + 4mn + 2n^2 :
Explicação: Primeiro, aplicamos a mesma fórmula de expansão e depois multiplicamos cada termo por 2.

Passo 5

Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
(m + 2n)^2 = m^2 + 4mn + 4n^2
2(m + n)^2 = 2m^2 + 4mn + 2n^2
Agora, subtraímos (m + 2n)^2 - 2(m + n)^2 = (m^2 + 4mn + 4n^2) - (2m^2 + 4mn + 2n^2) = -m^2 + 2n^2 de :

Passo 6

A gente quer provar que (m + 2n)^2 - 2(m + n)^2 = -m^2 + 2n^2 . Pelo que acabamos de calcular:
-m^2 + 2n^2 > 0
Então, para que , precisamos que:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a desigualdade:
- m^2 + 2n^2 > 0 implies 2n^2 > m^2
Isso é exatamente o que foi dado no enunciado: . Portanto, a condição necessária para que a desigualdade que queremos provar seja verdadeira já está satisfeita.

Resposta

Assim, mostramos que se e , então .

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(Segundo Princípio de Indução) Seja X subseteq N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n in N, se X contém todos os números naturais m tais que m, então n in X. Nestas condições, X=N.
Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
x+2 y-3 z=a
2 x+3 y+3 z=b
x-3 y+2 z=c
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
2(1+2+ldots+n)=n(n+1);
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
1+1raiz2+1raiz3+ldots+1raizn <= 2 raizn ; forall n >= 1.