Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
2(1+2+ldots+n)=n(n+1);

Passo 1

Beleza, a gente tem que provar usando indução matemática que . Isso envolve somar uma sequência de números e mostrar que a fórmula funciona pra qualquer número natural . Vamos precisar entender como funciona a indução: basicamente, provar o caso inicial e depois mostrar que se funciona pra um número qualquer, funciona pro próximo também.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos checar se a fórmula tá correta pro primeiro número, que é 2(1) = 1(1 + 1) .
Para 2 = 2 :
Viu? A base tá ok!

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula funciona pra algum número 2(1 + 2 + ldots + k) = k(k + 1) . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula funciona pra 2(1 + 2 + ldots + k) + 2(k + 1) , então também funciona pra k(k + 1) + 2(k + 1) .
Vamos calcular (k + 1)(k + 2) :
(k + 1)((k + 1) + 1)
Pela hipótese de indução, sabemos que , então substituímos:
Agora, fatoramos :
Isso é igual a:
Ou seja, a fórmula funciona pro número !

Resposta

Assim, por indução matemática, a gente mostrou que é válida pra todo número natural .

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