Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;
Passo 1
Beleza, a gente tem que provar usando indução matemática que
. Isso envolve somar uma sequência de números e mostrar que a fórmula funciona pra qualquer número natural
. Vamos precisar entender como funciona a indução: basicamente, provar o caso inicial e depois mostrar que se funciona pra um número qualquer, funciona pro próximo também.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos checar se a fórmula tá correta pro primeiro número, que é
.
Para
:
Viu? A base tá ok!
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula funciona pra algum número
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula funciona pra
, então também funciona pra
.
Vamos calcular
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então substituímos:
Agora, fatoramos
:
Isso é igual a:
Ou seja, a fórmula funciona pro número
!
Resposta
Assim, por indução matemática, a gente mostrou que
é válida pra todo número natural
.
Exercícios relacionados
Prove que se
e
, então
.
(Segundo Princípio de Indução) Seja
um conjunto com a seguinte propriedade: dado
, se
contém todos os números naturais
tais que
, então
. Nestas condições,
.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Um elemento
chama-se antecessor de
quando se tem
mas não existe
tal que
. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.