Seis diretores irão entrevistar os finalistas de um processo seletivo. Há sempre dois diretores em uma entrevista e cada diretor participa de cinco entrevistas, sendo cada uma com um colega diferente. Dois dos diretores declararam conhecer previamente um dos candidatos e pediram para não pertencer à dupla de entrevistadores dessa pessoa. O número de duplas diferentes que podem entrevistar esse candidato, de modo que o pedido dos dois diretores seja respeitado, é igual a.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Temos seis diretores que vão entrevistar os finalistas de um processo seletivo. Cada entrevista é feita por uma dupla de diretores, e cada diretor participa de cinco entrevistas, sempre com colegas diferentes. Além disso, dois desses diretores já conhecem previamente um dos candidatos e pediram para não serem parte da dupla que vai entrevistar esse candidato específico.
Conteúdo da matéria: Combinatória, mais especificamente combinação de elementos sem repetição.
O que vamos precisar para resolver: Saber calcular o número de combinações possíveis de pares de diretores, e depois excluir as combinações que não são permitidas pelos pedidos dos diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantas duplas diferentes de diretores podem ser formadas no total. Temos 6 diretores e queremos formar pares de 2.
A fórmula para calcular combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $ é:
Aplicando isso:
Então, existem 15 duplas possíveis no total.
Passo 3
Agora, precisamos considerar o pedido dos dois diretores que não querem participar da entrevista desse candidato específico. Vamos chamar esses diretores de A e B.
Queremos excluir todas as duplas que incluam o diretor A ou o diretor B.
Primeiro, vamos contar quantas duplas incluem o diretor A. Como há 5 outros diretores, existem 5 duplas que incluem A:
Da mesma forma, existem 5 duplas que incluem o diretor B:
No entanto, a dupla que inclui tanto A quanto B ({A, B}) foi contada duas vezes. Precisamos subtrair essa dupla para não contar duas vezes.
Então, o número total de duplas que incluem A ou B é:
Passo 4
Agora, para encontrar o número de duplas que não incluem nem A nem B, subtraímos as duplas que incluem A ou B do total de duplas possíveis:
Resposta
Existem 6 duplas diferentes que podem entrevistar esse candidato, respeitando o pedido dos dois diretores.