Seja X: B
. Calcular:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
e)
;
f)
;
g)
;
h)
e VAR (X);
i)
sendo
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial
. Isso significa que realizamos 10 tentativas, e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é
. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para calcular as probabilidades pedidas e também calcular a esperança
e a variância
. Além disso, vamos padronizar
para encontrar
e
, onde
.
Passo 2
a)
Para calcular
, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Aqui,
,
e
.
Calculando:
Passo 3
b)
Para
, somamos as probabilidades de
:
Usamos a fórmula binomial para cada termo:
Passo 4
c)
Para
, podemos calcular como o complemento de
:
Passo 5
d)
Primeiro, simplificamos a desigualdade:
Então,
Que já calculamos no item b).
Passo 6
e)
A desigualdade
significa que
está entre 1 e 3:
Então,
Passo 7
f)
Isso significa
pode ser 4 ou 5:
Usamos a fórmula binomial para cada valor.
Passo 8
g)
A desigualdade
significa que
está fora do intervalo [2,4], ou seja:
Então,
Passo 9
h)
e
Para uma distribuição binomial
:
Substituindo
e
:
Passo 10
i)
e
onde
Primeiro, sabemos que:
Sabemos que para qualquer variável aleatória, a esperança de
será 0 e a variância será 1:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
e
i)
e