Seja X: B (10, 25). Calcular:
a) P(X=3);
b) P(X <= 2);
c) P(X >= 4);
d) P(X-2<1) ;
e) P(|X-2| <= 1);
f) P(3;
g) P(|X-3|>1);
h) E(X) e VAR (X);
i) E(Z) e VAR(Z) sendo Z=X-muxsigmax.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial . Isso significa que realizamos 10 tentativas, e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é . Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para calcular as probabilidades pedidas e também calcular a esperança e a variância . Além disso, vamos padronizar para encontrar e , onde .

Passo 2

a) P(X=k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Para calcular P(X=3) = binom103 (25)^3 (1 - 25)^10-3 , usamos a fórmula da distribuição binomial:
Aqui, , e .
Calculando:

Passo 3

b) P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Para P(X=k) = binom10k (25)^k (35)^10-k , somamos as probabilidades de :
Usamos a fórmula binomial para cada termo:

Passo 4

c) P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3) = 1 - ( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) )
Para , podemos calcular como o complemento de :

Passo 5

d) X - 2 < 1 implies X < 3
Primeiro, simplificamos a desigualdade:
P(X - 2 < 1) = P(X < 3) = P(X <= 2)
Então,
Que já calculamos no item b).

Passo 6

e) 1 <= X <= 3
A desigualdade P(|X - 2| <= 1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) significa que está entre 1 e 3:
Então,

Passo 7

f) P(3 < X <= 5) = P(X=4) + P(X=5)
Isso significa pode ser 4 ou 5:
Usamos a fórmula binomial para cada valor.

Passo 8

g) X < 2 ou X > 4
A desigualdade P(|X - 3| > 1) = P(X <= 1) + P(X >= 5) significa que está fora do intervalo [2,4], ou seja:
Então,

Passo 9

h) E(X) = n cdot p e VAR(X) = n cdot p cdot (1 - p)
Para uma distribuição binomial E(X) = 10 cdot 25 = 4 :
VAR(X) = 10 cdot 25 cdot 35 = 6025 = 2.4
Substituindo e :

Passo 10

i) Z = X - E(X)raizVAR(X) e E(Z) = 0 onde VAR(Z) = 1
Primeiro, sabemos que:
Sabemos que para qualquer variável aleatória, a esperança de será 0 e a variância será 1:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) e
i) e

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