Calcular em 9 lances de urna moeda não viciada a probabilidade de que se tenha:
a) Menos de 3 caras
b) Pelo menos 4 caras
c) Exatamente 2 caras

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular, em 9 lançamentos de uma moeda que não é viciada (ou seja, tem a mesma chance de dar cara ou coroa), a probabilidade de obter:
a) Menos de 3 caras
b) Pelo menos 4 caras
c) Exatamente 2 caras
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 9 lançamentos) e cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa) com a mesma probabilidade.

Passo 2

A Distribuição Binomial é definida pela fórmula:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de obter exatamente sucessos (caras) em tentativas.
  • é a combinação de elementos tomados a , ou seja, quantas maneiras podemos escolher caras em lançamentos.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (para uma moeda justa, ).
Vamos calcular cada parte do exercício usando essa fórmula.

Passo 3

a) Menos de 3 caras
Aqui, queremos a probabilidade de obter 0, 1 ou 2 caras em 9 lançamentos.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las:
P(menos de 3 caras) = P(0) + P(1) + P(2)
Calculando cada termo:
P(0) = C(9, 0) times (0.5)^0 times (0.5)^9 = 1 times 1 times 0.001953125 = 0.001953125
P(1) = C(9, 1) times (0.5)^1 times (0.5)^8 = 9 times 0.5 times 0.00390625 = 0.017578125
P(2) = C(9, 2) times (0.5)^2 times (0.5)^7 = 36 times 0.25 times 0.0078125 = 0.0703125
Somando:
P(menos de 3 caras) = 0.001953125 + 0.017578125 + 0.0703125 = 0.08984375
b) Pelo menos 4 caras
Aqui, queremos a probabilidade de obter 4 ou mais caras em 9 lançamentos. Podemos calcular isso subtraindo a probabilidade de obter menos de 4 caras de 1:
P(pelo menos 4 caras) = 1 - P(menos de 4 caras)
Já calculamos P(3) = C(9, 3) times (0.5)^3 times (0.5)^6 = 84 times 0.125 times 0.015625 = 0.1640625 . Precisamos também calcular P(menos de 4 caras) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.08984375 + 0.1640625 = 0.25390625 :
P(pelo menos 4 caras) = 1 - 0.25390625 = 0.74609375
Então:
P(2) = 0.0703125
Portanto:
c) Exatamente 2 caras
Já calculamos essa parte em a):

Resposta

a) A probabilidade de obter menos de 3 caras em 9 lançamentos é aproximadamente 0.0898.
b) A probabilidade de obter pelo menos 4 caras em 9 lançamentos é aproximadamente 0.7461.
c) A probabilidade de obter exatamente 2 caras em 9 lançamentos é aproximadamente 0.0703.

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