Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um exame de laboratório com as seguintes características:
  • Probabilidade de positivo verdadeiro (sensibilidade): 0,95. Isso significa que se a pessoa tem a doença, há 95% de chance de o exame dar positivo.
  • Probabilidade de positivo falso: 0,10. Ou seja, se a pessoa não tem a doença, há 10% de chance do exame dar positivo.
  • Prevalência da doença na população: 0,5%. Isso significa que, em geral, 0,5% da população possui essa doença.
Queremos calcular as probabilidades condicionais relacionadas ao resultado do exame, ou seja:
a) Probabilidade da pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.
b) Probabilidade da pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo.
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : A pessoa tem a doença.
  • : A pessoa não tem a doença.
  • : O exame deu positivo.
Sabemos que:
  • (sensibilidade).
  • (taxa de falso positivo).
  • (prevalência da doença).
  • .

Passo 3

Queremos calcular , a probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.
Segundo o Teorema de Bayes:
Mas precisamos encontrar , a probabilidade de o exame dar positivo em geral. Isso pode acontecer de duas formas:
  1. A pessoa tem a doença e o exame dá positivo.
  2. A pessoa não tem a doença e o exame dá positivo.
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar :
Ou seja, há aproximadamente 4,56% de chance da pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.

Passo 6

Agora, vamos calcular , a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo.
Sabemos que:
Portanto, há aproximadamente 95,44% de chance da pessoa não ter a doença mesmo com o exame positivo.

Resposta

a) A probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo é aproximadamente 4,56%.
b) A probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo é aproximadamente 95,44%.

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