Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que
da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um exame de laboratório com as seguintes características:
- Probabilidade de positivo verdadeiro (sensibilidade): 0,95. Isso significa que se a pessoa tem a doença, há 95% de chance de o exame dar positivo.
- Probabilidade de positivo falso: 0,10. Ou seja, se a pessoa não tem a doença, há 10% de chance do exame dar positivo.
- Prevalência da doença na população: 0,5%. Isso significa que, em geral, 0,5% da população possui essa doença.
Queremos calcular as probabilidades condicionais relacionadas ao resultado do exame, ou seja:
a) Probabilidade da pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.
b) Probabilidade da pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo.
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
-
: A pessoa tem a doença. -
: A pessoa não tem a doença. -
: O exame deu positivo.
Sabemos que:
-
(sensibilidade). -
(taxa de falso positivo). -
(prevalência da doença). -
.
Passo 3
Queremos calcular
, a probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.
Segundo o Teorema de Bayes:
Mas precisamos encontrar
, a probabilidade de o exame dar positivo em geral. Isso pode acontecer de duas formas:
- A pessoa tem a doença e o exame dá positivo.
- A pessoa não tem a doença e o exame dá positivo.
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
:
Ou seja, há aproximadamente 4,56% de chance da pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo.
Passo 6
Agora, vamos calcular
, a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo.
Sabemos que:
Portanto, há aproximadamente 95,44% de chance da pessoa não ter a doença mesmo com o exame positivo.
Resposta
a) A probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo é aproximadamente 4,56%.
b) A probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame deu positivo é aproximadamente 95,44%.
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. Calcular:
a) ;
b) ;
c) ;
d)
e) ;
f) ;
g) ;
h) e VAR (X);
i) sendo
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
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