Seja A um anel no qual x^2=x para todo x in A. Mostre que A é anel comutativo.

Passo 1

Então, temos um anel onde para todo elemento em , . Nosso objetivo é mostrar que esse anel é comutativo, ou seja, que para quaisquer elementos e em , . Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da teoria de anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o produto de dois elementos quaisquer e no anel . Queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos olhar para a expressão (a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 . Sabemos que em um anel, a expansão de é:

Passo 4

De acordo com o enunciado, todo elemento (a + b)^2 = a + ab + ba + b em satisfaz . Então, podemos substituir por e por :

Passo 5

Mas também sabemos que a + ab + ba + b = a + b porque para qualquer em . Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação subtraindo ab + ba = 0 de ambos os lados:

Passo 7

Isso nos dá que . No entanto, em anéis onde para todo , podemos ver que a característica do anel é 2. Isso significa que para todo em , o que implica que .

Passo 8

Substituindo isso na equação ab = ba , obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer , o que prova que o anel é comutativo.

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