Seja
um anel no qual
para todo
. Mostre que
é anel comutativo.
Passo 1
Então, temos um anel
onde para todo elemento
em
,
. Nosso objetivo é mostrar que esse anel
é comutativo, ou seja, que para quaisquer elementos
e
em
,
. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da teoria de anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o produto de dois elementos quaisquer
e
no anel
. Queremos mostrar que
.
Passo 3
Vamos olhar para a expressão
. Sabemos que em um anel, a expansão de
é:
Passo 4
De acordo com o enunciado, todo elemento
em
satisfaz
. Então, podemos substituir
por
e
por
:
Passo 5
Mas também sabemos que
porque
para qualquer
em
. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Isso nos dá que
. No entanto, em anéis onde
para todo
, podemos ver que a característica do anel é 2. Isso significa que
para todo
em
, o que implica que
.
Passo 8
Substituindo isso na equação
, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer
, o que prova que o anel
é comutativo.