Seja
um anel com unidade
e
. Construa as tabelas de operações para
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta um anel
com unidade
e zero
. A gente precisa construir as tabelas de operações de adição e multiplicação para esse anel. Para isso, vamos usar os conhecimentos de teoria dos anéis, que envolvem operações como adição e multiplicação que seguem certas regras. Além disso, já temos algumas informações específicas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na tabela de adição. Sabemos que a adição em um anel deve ser comutativa e possuir um elemento neutro, que nesse caso é
. Também sabemos que cada elemento deve ter um inverso em relação à adição.
Começamos preenchendo as informações que já temos:
Como
é o elemento neutro, temos:
-
para todo
Agora, precisamos determinar
,
,
. Lembrando que a adição é comutativa, então
, e assim por diante.
Passo 3
Vamos descobrir
. Sabemos que
, e queremos manter a estrutura do anel. Se somarmos
, precisamos que esse resultado seja algum elemento de
. Vamos supor que
. Então,
porque
.
Agora, vamos determinar
. Sabemos que
, mas precisamos da soma. Se
, isso mantém a consistência, já que
.
Por fim, vamos ver
. Para isso, como
deve ser igual a algum elemento de
, e considerando as somas anteriores, é lógico que
.
Passo 4
Agora, vamos montar a tabela de adição com todas as informações que obtivemos:
Passo 5
Passando para a tabela de multiplicação. Sabemos que
é a unidade, ou seja,
para todo
. Também sabemos que
e que
é o zero, então
para todo
.
Agora, precisamos determinar
e
.
Vamos assumir que
e
, para manter a consistência com a informação dada
.
Passo 6
Com essas informações, montamos a tabela de multiplicação:
Resposta
As tabelas de operações para o anel
são:
Tabela de Adição:
Tabela de Multiplicação: