Seja A=e, a, b, c um anel com unidade 1A=a e 0A=e. Construa as tabelas de operações para A, sabendo que a+a=b+b=e e b c=e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta um anel com unidade e zero . A gente precisa construir as tabelas de operações de adição e multiplicação para esse anel. Para isso, vamos usar os conhecimentos de teoria dos anéis, que envolvem operações como adição e multiplicação que seguem certas regras. Além disso, já temos algumas informações específicas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na tabela de adição. Sabemos que a adição em um anel deve ser comutativa e possuir um elemento neutro, que nesse caso é . Também sabemos que cada elemento deve ter um inverso em relação à adição.
Começamos preenchendo as informações que já temos:
Como é o elemento neutro, temos:
  • para todo
Agora, precisamos determinar , , . Lembrando que a adição é comutativa, então , e assim por diante.

Passo 3

Vamos descobrir . Sabemos que , e queremos manter a estrutura do anel. Se somarmos , precisamos que esse resultado seja algum elemento de . Vamos supor que . Então, porque .
Agora, vamos determinar . Sabemos que , mas precisamos da soma. Se , isso mantém a consistência, já que .
Por fim, vamos ver . Para isso, como deve ser igual a algum elemento de , e considerando as somas anteriores, é lógico que .

Passo 4

Agora, vamos montar a tabela de adição com todas as informações que obtivemos:
c|cccc + & e & a & b & c hline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e

Passo 5

Passando para a tabela de multiplicação. Sabemos que é a unidade, ou seja, para todo . Também sabemos que e que é o zero, então para todo .
Agora, precisamos determinar e .
Vamos assumir que e , para manter a consistência com a informação dada .

Passo 6

Com essas informações, montamos a tabela de multiplicação:
c|cccc cdot & e & a & b & c hline e & e & e & e & e a & e & a & b & c b & e & b & c & e c & e & c & e & b

Resposta

As tabelas de operações para o anel c|cccc + & e & a & b & c hline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e são:
Tabela de Adição:
c|cccc cdot & e & a & b & c hline e & e & e & e & e a & e & a & b & c b & e & b & c & e c & e & c & e & b
Tabela de Multiplicação:

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