Seja , sendo uma constante positiva e considerando igual a zero, calcule o campo elétrico .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético dado por , onde e são constantes positivas. Além disso, nos informam que a densidade de corrente de deslocamento é igual a zero. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico .
Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell, que relacionam os campos elétrico e magnético com as cargas e correntes elétricas. Precisaremos entender conceitos como divergente, rotacional e as próprias equações de Maxwell.

Passo 2

Vamos começar lembrando a Lei de Faraday, que faz parte das equações de Maxwell. Essa lei nos diz que um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico. Matematicamente, é representada por:
Isso significa que se o campo magnético muda com o tempo, haverá um campo elétrico circulante ao redor dessa variação.

Passo 3

No nosso problema, o campo magnético depende apenas da posição e não explicitamente do tempo . Portanto, sua derivada em relação ao tempo é:
Isso simplifica a equação de Faraday para:

Passo 4

Quando o rotacional de é zero, isso indica que o campo elétrico é conservativo. Ou seja, pode ser escrito como o gradiente de um potencial elétrico :
Isso significa que não há circulação do campo elétrico, e ele depende apenas da posição.

Passo 5

Agora, vamos considerar a Lei de Ampère-Maxwell, que nas condições dadas (com ) fica:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a densidade de corrente elétrica.

Passo 6

Vamos calcular o rotacional de . Dado que , temos:
Como tem apenas a componente e não depende de ou , todas as derivadas são zero. Então:

Passo 7

Com , a equação de Ampère-Maxwell nos dá:
Isso significa que não há corrente elétrica presente.

Passo 8

Voltando à Lei de Gauss para o campo elétrico:
Como não temos informação sobre uma densidade de carga , e considerando que é conservativo e , concluímos que não há fontes para o campo elétrico.

Passo 9

Com base nessas conclusões, o único campo elétrico que satisfaz todas as condições é o campo elétrico nulo.

Resposta

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