Seja
, sendo
uma constante positiva e considerando
igual a zero, calcule o campo elétrico
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético dado por
, onde
e
são constantes positivas. Além disso, nos informam que a densidade de corrente de deslocamento
é igual a zero. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
.
Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell, que relacionam os campos elétrico e magnético com as cargas e correntes elétricas. Precisaremos entender conceitos como divergente, rotacional e as próprias equações de Maxwell.
Passo 2
Vamos começar lembrando a Lei de Faraday, que faz parte das equações de Maxwell. Essa lei nos diz que um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico. Matematicamente, é representada por:
Isso significa que se o campo magnético
muda com o tempo, haverá um campo elétrico
circulante ao redor dessa variação.
Passo 3
No nosso problema, o campo magnético
depende apenas da posição
e não explicitamente do tempo
. Portanto, sua derivada em relação ao tempo é:
Isso simplifica a equação de Faraday para:
Passo 4
Quando o rotacional de
é zero, isso indica que o campo elétrico é conservativo. Ou seja,
pode ser escrito como o gradiente de um potencial elétrico
:
Isso significa que não há circulação do campo elétrico, e ele depende apenas da posição.
Passo 5
Agora, vamos considerar a Lei de Ampère-Maxwell, que nas condições dadas (com
) fica:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a densidade de corrente elétrica.
Passo 6
Vamos calcular o rotacional de
. Dado que
, temos:
Como
tem apenas a componente
e não depende de
ou
, todas as derivadas são zero. Então:
Passo 7
Com
, a equação de Ampère-Maxwell nos dá:
Isso significa que não há corrente elétrica presente.
Passo 8
Voltando à Lei de Gauss para o campo elétrico:
Como não temos informação sobre uma densidade de carga
, e considerando que
é conservativo e
, concluímos que não há fontes para o campo elétrico.
Passo 9
Com base nessas conclusões, o único campo elétrico que satisfaz todas as condições é o campo elétrico nulo.
Resposta
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